Superior

Assunto: Equações do plano.

Determine o ângulo entre os seguintes planos:
(a) e

(b) e

R.:
O ângulo entre dois planos é o menos ângulo formado pelos vetores normais aos planos.
A equação geral ou cartesiana de um plano é dada pelo plano , onde todos os planos paralelos a ele têm o mesmo vetor normal .
Ou seja, num plano A : 2x + 3y + z = 4, o vetor do plano será A (2,3,1).
Para encontrar o ângulo entre dois planos utlizamos o produto escalar entre os seua dois vetores, conforme abaixo:

Com base nesta teoria encontramos os vetores de cada planos para solucionar o problema exposto.

(a)
No plano o vetor do plano será .
No plano o vetor do plano será .

Então,

(b)
No plano o vetor será .
No plano o vetor será .

Questão 2: (1,0 ponto)
Determinar m de modo que os planos e sejam perpendiculares.

R.:
Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais, ou seja para que dois planos sejam perpendiculares o produto entre os seus vetores tem que ser nulo. Isto é,

Sendo assim, definimos então o vetor de cada plano.
No plano o vetor será
No plano o vetor será
Encontrados os vetores realizamos assim seu produto.

Para que os planos e sejam perpendiculares, m = 1.

Assunto: Equações da reta.

Questão 1: (1,0 ponto)
Qual deve ser o valor de m para que os pontos A ( 3, m, 1), B ( 1, 1, -1) e C (-2, 10, -4) pertençam a mesma reta?

R.:

Dois ou mais pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta, quando isso ocorre dizemos que eles são colineares.
A partir de um ponto já pertencente à reta encontramos os outros através da sua direção, que é dada, parametricamente, por:

Em coordenadas:

Sendo que P é um ponto qualquer da reta cujas coordenadas são P (x1, y1, z1) e direção = (). Quando não é dado o vetor, encontramos a partir da diferença entre dois pontos da reta. Com,

Onde P1 e P2