Subgrupos finitos de gl(v)

Teorema 1. Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita, e G ⊆ GL(V ) um grupo finito. c a Ent˜o a aplica¸˜o definida por a ca P =
1 |G| T ∈G

T

´ uma proje¸˜o, tal que Im(P ) e Ker(P ) s˜o G-invariantes. e ca a Demonstra¸˜o. Provaremos primeiro que Im(P ) ´ G-invariante, para isso seja T ∗ ∈ G qualquer, ca e e tome P (v) ∈ Im(P ), teremos que
1 T ∗ (P (v)) = T ∗ |G| T ∈G

T (v) =

1 (T ∗ T )(v) = P (v) ∈ Im(P ) |G| T ∈G

Onde a ultima igualdade decorre do fato de que a aplica¸˜o ´ ca A∗ : G −→ G T −→ T ∗ T ´ um isomorfismo, o que prova que Im(P ) ´ G-invariante. e e Agora provaremos que P ´ uma proje¸˜o. A composi¸ao P 2 = P ◦ P pode ser desenvolvida e ca c˜ por
1 P ◦ P = ( |G| T ∈G

T )(

1 T) |G| T ∈G

=

1 ( T ∗ )( T) |G|2 T ∗ ∈G T ∈G 1 |G|2

=

(
T ∗ ∈G T ∈G

T ∗T )

=

1 |G|2 T ∗ ∈G

|G|P

=

1 |G| T ∗ ∈G

P

=

1 |G|P |G|

=P O que prova que P ´ proje¸ao, e pelo lema, Ker(P ) tamb´m ´ G-invariante, finalizando a prova e c˜ e e do teorema.

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Teorema 2. Se V e W s˜o espa¸os vetoriais sobre um mesmo corpo K, tais que dim(V ) = n a c e dim(W ) = m, ent˜o o espa¸o vetorial Mn×m (K) das matrizes n × m sobre K ´ um produto a c e tensorial de V e W . Demonstra¸˜o. J´ sabemos que (Bil(V ∗ × W ∗ , K), T ), com T j´ conhecida, ´ um produto ca a a e tensorial de V e W . Mostraremos que existe um isomorfismo i : Bil(V ∗ ×W ∗ , K) −→ Mn×m (K), e feito isso , construiremos a transorma¸ao bilinear universal que torna Mn×m (K) um produto c˜ tensorial. Note que {A1,1 , ..., A1,m , ..., An,1 , An,m } ´ uma base de Mn×m (K), onde e    1 , se (i, j) = (u, v) Au,v = [ai,j ]; aij =  0 , se i = u ou j = v  Da mesma forma, o conjunto {ϕ1,1 , ..., ϕ1,m , ..., ϕn,1 , ..., ϕn,m }, contru´ usando as bases ıdo duais {φ1 , ..., φn } e {ψ1 , ..., ψm } de V ∗ e W ∗ , respectivamente, definido por ϕi,j = φi ψj ; ´ uma base de Bil(V ∗ × W ∗ , K). e Como as dimens˜es dos dois espa¸os s˜o iguais, sabemos que ´ poss´ contruir o isomoro c a e