Solucao matemática elementar

DCC111 – Matemática Discreta

UFMG/ICEx/DCC

Lista de Exercícios 5: Soluções
Teoria dos Conjuntos
1o Semestre de 2015

Ciências Exatas & Engenharias

1. Escreva uma negação para a seguinte afirmação: ∀ conjuntos A, se A ⊆ R então A ⊆ Z. O que é verdadeira: a afirmação ou sua negação? Justifique a sua resposta.
Resposta:

Negação: ∃ um conjunto A tal que A ⊆ R e A ⊆ Z.
A negação é verdadeira. Por exemplo, seja A = {x ∈ R|0 < x < 2}. Então A ⊆ R mas A ⊆ Z, já que, por exemplo, 21 ∈ A.
2. Sejam os seguintes conjuntos:
A

= {m ∈ Z|m = 2i − 1, para algum inteiro i}

B

= {n ∈ Z|n = 3j + 2, para algum inteiro j}

Prove se A = B.
Resposta:

Tem-se que A = B. Por exemplo, 1 ∈ A, já que a = 2 · 1 − 1, mas 1 ∈ B. Se 1 fosse um elemento de B, então teríamos 1 = 3j + 2, para algum inteiro j, o que daria:
3j + 2

=

1

3j

=

j

=

−1
1
−
3

o que não é um número inteiro, ou seja, 1 ∈ B. Assim, existe um elemento em A que não está em B.
Conseqüentemente, A = B.
3. Seja A = {1, 2, 3}, B = {u, v} e C = {m, n}. Liste os elementos do conjunto A × (B × C).
Resposta:

A × (B × C)

= {(1, (u, m)), (2, (u, m)), (3, (u, m)),
(1, (u, n)), (2, (u, n)), (3, (u, n)),
(1, (v, m)), (2, (v, m)), (3, (v, m)),
(1, (v, n)), (2, (v, n)), (3, (v, n))}

4. Prove que para todos os conjuntos A e B, B − A = B ∩ Ac .
Resposta:

Prova que B − A ⊆ B ∩ Ac :
–
–
–
–
–

Suponha x ∈ B − A.
Pela definição de diferença de conjuntos, x ∈ B e x ∈ A.
Pela definição de complemento, x ∈ B e x ∈ Ac .
Pela definição de intersecção x ∈ B ∩ Ac .
Assim, pela definição de subconjunto, B − A ⊆ B ∩ Ac .
1

Prova que B ∩ Ac ⊆ B − A:
–
–
–
–
–

Suponha x ∈ B ∩ Ac .
Pela definição de intersecção, x ∈ B e x ∈ Ac .
Pela definição de complemento, x ∈ B e x ∈ A.
Pela definição de diferença de conjuntos, x ∈ B e x ∈ A.
Assim, pela definição de subconjunto, B ∩ Ac ⊆ B − A.

Como B − A ⊆ B ∩ Ac e B ∩ Ac ⊆ B − A temos que B − A = B ∩ Ac .
5. Prove por indução matemática que para todo inteiro n ≥ 1 e todos os conjuntos A1 , A2 , . . .