Resumo EDO 1 E 2 Ordem

Equação Linear de Primeira Ordem
𝑦 ′ (𝑡) + 𝑝(𝑡)𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡)
Caso Geral
Multiplicar pelo fator integrante 𝜇(𝑡) tal que

𝜇′ (𝑡)
𝜇(𝑡)

= 𝑝(𝑡), logo:

𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
Essa operação leva a:
𝜇(𝑡)𝑦(𝑡) = ∫ 𝜇(𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐
Assim:
𝑦(𝑡) = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑒 ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐𝑒 − ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡
Equações não Lineares de Primeira Ordem
Equações separáveis
Escrever 𝑦′(𝑡) como um produto de uma função que só depende de “x” e uma que só depende de “y”.
𝑦 ′ (𝑡) =

𝑔(𝑡)
ℎ(𝑦)

Então separa-se “y” de “x” e integra-se dos dois lados:
ℎ(𝑦) 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑔(𝑡)
∫ ℎ(𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Bernoulli
𝑦 ′ (𝑡) + 𝑝(𝑡)𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑦 𝑛 (𝑡)
𝑦 ′ (𝑡)𝑦 −𝑛 (𝑡) + 𝑝(𝑡)𝑦1−𝑛 (𝑡) = 𝑓(𝑡)
Chamando
𝑣(𝑡) = 𝑦1−𝑛 (𝑡)
𝑣 ′ (𝑡) = (1 − 𝑛)𝑦 −𝑛 (𝑡)𝑦′(𝑡)
E substituindo na equação:
𝑣 ′ (𝑡)
+ 𝑝(𝑥)𝑣(𝑥) = 𝑓(𝑥)
1−𝑛
𝑣 ′ (𝑡) + 𝑝2 (𝑡)𝑣(𝑡) = 𝑓2 (𝑡)
E resolve-se pelo caso geral das Eq. Lineares de Primeira Ordem

Equações Exatas
𝑁(𝑥, 𝑡)𝑥 ′ (𝑡) + 𝑀(𝑥, 𝑡) = 0
Para checar se é exata:
𝜕𝑀 𝜕𝑁
=
𝜕𝑥
𝜕𝑡
Caso seja
𝜕𝑉
= 𝑀(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡

𝑒

𝜕𝑉
= 𝑁(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥

Então
(𝐼) 𝑉 = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡 + ℎ(𝑡)
Deriva-se (I) em relação a “x”
𝑁(𝑥, 𝑡) −

𝜕𝑉
= ℎ′(𝑡)
𝜕𝑥

Integra-se ℎ′ (𝑡) e substitui-se em (I)

Caso a equação não seja exata deve-se multiplicar por um fator integrante 𝜇(𝑥), tal que: 𝜇(𝑀𝑦 − 𝑁𝑥) 𝜕𝜇
=
𝑁
𝜕𝑥
E resolve-se a equação pelo método das equações exatas.

Equações Lineares de Segunda Ordem
Equações Homogêneas
𝑦 ′′ (𝑡) + 𝑝 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑞 𝑦(𝑡) = 0
Utiliza-se os coeficientes 𝑝 e 𝑞 para resolver em 𝜆 a equação:
𝜆2 + 𝑝 𝜆 + 𝑞 = 0
Caso o ∆ do Bháskara seja maior que zero, temos:
𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒 𝜆1 𝑡 + 𝑐2 𝑒 𝜆2 𝑡
Caso o ∆ do Bháskara seja igual a zero, temos:
𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒 𝜆1 𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 𝜆2 𝑡
Caso o ∆ do Bháskara seja menor que zero, temos:
𝑦(𝑡) = 𝑒

−𝑝𝑡
√−∆
2 (𝑐1 cos
𝑡

2

+ 𝑐2 sin

√−∆
𝑡)
2

Equações não Homogêneas
𝑦 ′′ (𝑡) + 𝑝 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑞 𝑦(𝑡) =