Resumo de Matrizes e Determinantes

MATRIZES-DETERMINANTES

1) Delta de Kronecker: = {0; se i≠j e 1; se i = j}
2) Traço de uma Matriz quadrada A de ordem n: Tr(a) = + + ... + =

Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)
Tr(α.A) = α.Tr(A)
Tr()= Tr(A)
Tr(AB) = Tr(BA)

3) Matriz Identidade ] de ordem n: = 1; i = j e = 0; i ≠ j.
4) A igualdade de matrizes de mesma ordem define uma Relação de Equivalência, ou seja, goza das seguintes propriedades:
1ª) Reflexiva: A=A, para qualquer matriz A
2ª) Simétrica: para matrizes A e B, se A=B, então B=A
3ª) Transitiva: para matrizes A, B e C, se A=B e B=C, então A=C
5) (i) Uma matriz quadrada A (ordem n) se diz simétrica quando A = ; A é dita anti-simétrica quando -A =
(ii) = A
(iii) ( = + ; para matrizes A e B de mesma ordem.
(iv) ( =
(v) = .
(vi) = A.A.A.A.A...A (p fatores no produto) = ( p, q )
(vii) Se = , então A é dita Matriz Involutiva. (EXEMPLIFIQUE!)
(viii) Se = A, então A é dita Matriz Idempotente. (EXEMPLIFIQUE!)

6) A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, se AB existe BA pode não obrigatoriamente existir (Exemplifique!); Mesmo que existam AB e BA, pode-se ter AB ≠ BA (Exemplifique!). Porém se AB = BA, diremos que as matrizes A e B comutam. (Exemplifique!)
7) A, B, C, matrizes conformáveis para a multiplicação, então:
(AB).C = A.(BC)
A. =
A. =
A.B = , mas não obrigatoriamente A= B = (EXEMPLIFIQUE!)
A.B = A.C , mas não se pode concluir que B = C, pois não vale a lei do cancelamento para multiplicação de matrizes. (EXEMPLIFIQUE!).

8) Se as matrizes A e B conformáveis para a multiplicação, comutam, então: = + 2AB +
(A+B)(A-B) = -
9) Se a matriz A (quadrada de ordem n) é inversível ou não singular, então é única a matriz B (quadrada de ordem n) tal que: A.B = B.A = , isto é, se a matriz A possui uma matriz inversa, essa matriz é única.
= A.
, respeitada a conformabilidade para a multiplicação, vale a equivalência: A . X = B . B = . ; com A e B matrizes