Representação do conjunto de cantor na base 3

Representação em base 3 Qualquer elemento de K que seja extremo inferior (Ei) de intervalo restante na etapa Fn pode ser obtido assim: partindo do zero vamos somando (ou não) o dobro do comprimento (de intervalo) de cada etapa até a atual. Exemplos: 2/3 = 0 + 2.1/3 8/9 = 0 + 2.1/3 + 2.1/32
74/81 = 0 + 2.1/3 + 2.1/32 + 0.1/33 + 2.1/34
2/247 = 0 + 0.1/3 + 0.1/32 + 0.1/33 + 0.1/34 + 2.1/35 Lembrando que: 0,125 = 0,1 + 0,02 + 0,005 = 0 + 1.1/10 + 2.1/100 + 5.1/1000 = 0 + 1.1/10 + 2.1/102 + 5.1/103 e que esta representação é chamada de decimal, ou em base 10, analogamente utilizaremos a representação em base 3. Assim: 0,125(10) = 0 + 1.1/10 + 2.1/102 + 5.1/103 = 1/8 e 0,22(3) = 0 + 2.1/3 + 2.1/32 = 8/9, ou seja: 0,125(10) é o número 1/8 escrito em base 10. 0,22(3) é o número 8/9 escrito em base 3.
Associando este raciocínio à nossa descrição dos extremos inferiores concluímos que: a representação em base 3 dos extremos inferiores possui apenas dígitos 0 e 2. Para ilustrar vamos escrever nossos exemplos anteriores em base 3 : 2/3 = 0 + 2.1/3 = 0,2(3)
74/81 = 0 + 2.1/3 + 2.1/32 + 0.1/33 + 2.1/34 = 0,2202(3)
2/247 = 0 + 0.1/3 + 0.1/32 + 0.1/33 + 0.1/34 + 2.1/35 = 0,00002(3) Exceto o 1 observe que qualquer outro extremo superior (Es) de intervalo restante em Fn pode ser escrito como um extremo inferior que "surgiu"(apareceu como extremo pela primeira vez) em Fn de onde subtrai-se um comprimento de intervalo.
Assim E8 = Ei – 1/3n em base 3: Es = 0, a1a2...2 - 0,00...1 = 0, a1a2...1
Concluímos então que: a representação dos extremos inferiores em base 3 possui apenas dígitos 0 e 2 até o penúltimo; somente o último dígito não nulo pode ser 1; todos além dele devem ser iguais a zero.