Relações e funções

PRIMEIRA LISTA DE EXERC´ ICIOS – RELACOES E FUNCOES ¸˜ ¸˜
´ MATEMATICA DISCRETA II

Exerc´ ıcio 1. Liste os pares ordenados na rela¸˜o R ⊆ A×B, onde A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3}, ca em que (a, b) ∈ R se, e somente se, (1) a = b (2) a > b (3) a + b = 4 (4) a|b Exerc´ ıcio 2. Determine o dom´ ınio e a imagem de cada uma das rela¸˜es apresentadas nos itens dos co exerc´ ıcios anteriores. Exerc´ ıcio 3. Para cada uma destas rela¸˜es, decida se ela ´ reflexiva, se ´ sim´trica, se ´ antisco e e e e sim´trica, e se ´ transitiva. e e (1) {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} (4) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} (2) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} (5) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} (3) {(2, 4), (4, 2)} (6) {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)} Exerc´ ıcio 4. Determine se a rela¸˜o R ⊆ R × R ´ reflexiva, sim´trica, antissim´trica e/ou transitiva, ca e e e em que (x, y) ∈ R se, e somente se, (1) x + y = 0 (4) x = 1 (7) xy = 0 (2) x − y ´ um n´mero racional (5) x = |y| e u (8) x = 1 ou y = 1 (3) xy ≥ 0 (6) x = 2y Exerc´ ıcio 5. Determine o dom´ ınio e a imagem de cada uma das rela¸˜es apresentadas nos itens dos co exerc´ ıcios anteriores. Determine quais das rela¸˜es no exerc´ co ıcio anterior ´ fun¸ao. e c˜ Exerc´ ıcio 6. Sejam R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} e R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} rela¸˜es. Encontre: co (1) R1 ∪ R2 (2) R1 ∩ R2 (3) R1 \ R2 (4) R2 \ R1 Exerc´ ıcio 7. Seja R a rela¸˜o do conjunto das pessoas que consiste nos pares (a, b), nos quais a ´ ca e progenitos de b. Seja S a rela¸˜o no conjunto das pessoas que consiste nos pares (a, b), nos quais a e ca b s˜o irm˜os. O que s˜o S ◦ R e R ◦ S? a a a Exerc´ ıcio 8. Seja R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 1)} e S = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2)}. Determine R ◦ S e S ◦ R. Exerc´ ıcio 9. Sejam R e S rela¸˜es. Mostre que S ◦ R = ∅ se, e somente se, im(R) ∩ dom(S) = ∅. co Os exerc´ ıcios 10 a 13 tratam destas rela¸˜es no