relatorio
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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a DistânciaAP3- CÁLCULO II- 2013/1 Gabarito a 1 Questão (3,5 pontos) Considere a região
R sombreada mostrada na seguinte figura:
Figura 1.
R.
(a) (1,0 ponto) Calcule a área da região
(b) (1,0 ponto) Use o método dos discos ou arruelas para achar o volume do sólido pela rotação da região
S gerado
R em torno do eixo Ox .
(c) (1,5 ponto) Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume do sólido
S gerado pela
R em torno do eixo Oy .
rotação da região
Solução da 1ª Questão
2
2
(a) (1,0 ponto) A( R) = ∫ e x dx = e x = e2 − e0 = e2 − 1 unidades de área.
0
0
2
(b) V = π
∫ [ R( x)] dx , onde
0
2
2
V ( R) = π
∫
2
e x dx = π
0
R( x) = e x > 0 . Veja a Figura 2.
2
∫
e
2x
dx =
0
π
2
2
∫
2e2 x dx =
π
2
π 4 0 π 4 e2 x = e −e = e −1
0 2
2
2
( )
(
) (
)
0
unidades de volume.
2
∫
0
(c) V = 2π r ( x)h( x)dx , onde r ( x) = x ≥ 0 e h( x) = e x > 0 em particular para 0 ≤ x ≤ 2 .
Veja a Figura 3.
x
V ( R) = 2π { e dx = 2π { x{ u dv
u
0
unidades de volume.
2
∫
x
= 2π e − e dx
{
{ { v 0 v du
0
x 2
2
∫
x
2
2 x 2
2
0
2
{
2e − e 0 = 2π (2e − e + e ) = 2π (e + 1)
123
1 e2 Cálculo II
AP3 – Gabarito
2013/1
Figura 2.
Figura 3.
2a Questão (2,5 pontos)
(a) (1,0 ponto) Usando o método de substituição trigonométrica, calcule
(b) (1,5 ponto) Usando o método de frações parciais, calcule
∫
∫
du
1+ u2
.
dx
.
( x + 1)( x 2 + 1)
Solução da 2ª Questão
(a) Do triângulo retângulo associado mostrado na Figura 4 , temos que
Figura 4. u = tg θ ,
∫
du = sec 2 θ dθ ,
sec θ =
1+ u2
= 1 + u 2 . Logo
1
sec2 θ dθ
=∫
= ∫ sec θ dθ = ln | sec θ + tg θ | +C = ln | 1 + u 2 + u | + C .
2
sec θ
1+ u du (b) A função f ( x)