Relatorio

TEORIA DE NÚMEROS
CONSTRUÇÃO DOS INTEIROS PRINCÍPIO DA BOA ORDEM E PRINCÍPIOS DE INDUÇÃO
Uma grande ferramenta para o desenvolvimento da Álgebra e da própria Matemática é o Princípio da Indução Finita, que foi proposto pelo matemático Giuseppe Peano como último axioma na construção do conjunto dos Números Naturais. Devido a sua importância, esse grande princípio pode ser demonstrado utilizando o Princípio da Boa Ordenação como premissa. Mais ainda, é possível provar que o Princípio da Boa Ordenação e os dois Princípios da Indução Finita são equivalentes.
Para tanto, é necessário conhecer esses importantes princípios:
Princípio da Boa Ordenação
Todo conjunto não vazio de números naturais possui um elemento mínimo.
Primeira forma do Princípio da Indução Finita
Seja um subconjunto dos Números Naturais. Se possui as duas propriedades seguintes
(i) ,
(ii) sempre que , então contém todos os números naturais.
Segunda forma do Princípio da Indução Finita
Seja um subconjunto dos Números Naturais. Se possui as duas propriedades seguintes
(i) ,
(ii) sempre que , então contém todos os números naturais.
Para mostrarmos que esses três princípios são equivalentes, mostraremos que o Princípio da Boa Ordem implica na Primeira Forma do Princípio de Indução Finita, que implica na Segunda Forma da Indução Finita que implica no Princípio da Boa Ordenação.
Com isso, mostramos que esses três princípios são equivalentes e em um curso de Álgebra ou Teoria de Números, pode-se assumir um desses três princípios como um postulado e provar os demais a partir do primeiro.
1. Princípio da Boa Ordenação Primeira Forma Princípio de Indução Finita. Seja um subconjunto dos Números Naturais que possui as seguintes propriedades:
(i) ,
(ii) sempre que .
Vamos supor, por contradição, que não contém todos os números naturais. Nesse caso, existe um subconjunto, digamos , dos Números