Regra da cadeia

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Derivadas Parciais

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14.5

A Regra da Cadeia

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A Regra da Cadeia
Lembremo-nos de que a Regra da Cadeia para uma função de uma única variável nos dava uma regra para derivar uma função composta: se y = f (x) e x = g (t), onde f e g são funções diferenciáveis, então y é uma função indiretamente diferenciável de t e

Para as funções de mais de uma variável, a Regra da
Cadeia tem muitas versões, cada uma delas fornecendo uma regra de diferenciação de uma função composta.
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A Regra da Cadeia
A primeira versão (Teorema 2) lida com o caso onde z = f (x, y) e cada uma das variáveis x e y é, por sua vez, uma função de duas variáveis t. Isso significa que z é indiretamente uma função de t, z = f (g (t), h (t)), e a Regra da Cadeia dá uma fórmula para diferenciar z como uma função de t. Presumimos que f é diferenciável.

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A Regra da Cadeia
Lembremo-nos de que este é o caso quando fx e fy são contínuas. Como frequentemente escrevemos ∂z/∂x no lugar de ∂ f /∂x, podemos reescrever a Regra da Cadeia na forma

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Exemplo 1
Se z = x2y + 3xy4, onde x = sen 2t e y = cos t, determine dz/dt quando t = 0
SOLUÇÃO: A Regra da Cadeia fornece

Não é necessário substituir as expressões por x e y em termos de t.
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Exemplo 1 – Solução

continuação

Nós simplesmente observamos que quando t = 0, temos x = sen 0 = 0 e y = cos 0 = 1. Portanto,

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A Regra da Cadeia
Vamos considerar agora a situação onde z = f (x, y), mas x e y são funções de outras duas variáveis s e t: x = g(s, t), y = h(s, t). Então z é indiretamente uma função de s e t e desejamos determinar ∂z /∂s e ∂z /∂t. Lembre-se de que para calcular ∂z /∂t mantemos s fixo e calculamos a derivada ordinária de z em relação a t. Portanto, aplicando o Teorema 2, obtemos

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A Regra da Cadeia
Argumento análogo serve para ∂z /∂s, e assim demonstramos a seguinte versão da Regra da Cadeia.

O Caso 2 da Regra