regra da cadeia

A regra da cadeia afirma que
(f \circ g)'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x),\, que em sua forma sucinta é escrita como: (f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\,\!

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é
\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \cdot \frac {dg}{dx}
Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.

Exemplos[editar]
Exemplo 1: Considere f(x) = (x^2 + 1)^3. Temos que f(x)=h(g(x)) onde g(x) = x^2 + 1 e h(g(x)) = (g(x))^3. Então,

f '(x) \, = 3(x^2 + 1)^2(2x) \, = 6x(x^2 + 1)^2. \,
Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo: f(x) = \sin(x^2),\, pode ser escrita como f(x) = h(g(x)) com h(x) = \sin x e g(x) = x^2. A regra da cadeia afirma que f'(x) = 2x \cos(x^2) \, desde que h'(g(x)) = \cos (x^2) e g'(x) = 2x.

Regra da cadeia para várias variáveis[editar]

A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função z = f(x,y) onde x = g(t) e y = h(t), então
{\partial z \over \partial t}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}
Suponha que cada função de z = f(u,v) é uma função de duas variáveis tais que u = h(x,y) e v = g(x,y), e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:
{\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}{\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}
Se considerarmos \vec r = (u,v) acima como um vetor função, podemos então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como o produto escalar do gradiente de f e a derivada de \scriptstyle \vec r:
\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}
Em geral, para funções de vetores a vetores, a regra da cadeia afirma que a Matriz Jacobiana