Regra da cadeia - função

Regra da cadeia
Em Cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.
Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abssissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).
A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função.
Definição
A regra da cadeia afirma que

que em sua forma sucinta é escrita como: .
Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.
Exemplos:
Considere f(x) = (x2 + 1)3. Temos que f(x) = h(g(x)) onde g(x) = x2 + 1 e h(x) = x3. Então, | | | |
De forma análoga, para funções trigonométricas, por exemplo:

pode ser escrita como f(x) = h(g(x)) com h(x) = sinx e g(x) = x2. A regra da cadeia afirma que

desde que h'(g(x)) = cos(x2) e g'(x) = 2x.
Regra da cadeia para várias variáveis
A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma variável. Considere a função z = f(x,y) onde x = g(t) e y = h(t), então

Suponha que cada função de z = f(u,v) é uma função de duas variáveis tais que u = h(x,y) e v = g(x,y), e que todas essas funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:

ponto de máximo e mínimo
Em matemática em especial na análise real, os pontos de máximo e mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Ou seja, dizemos que e valores máximo e mínimo se existem pontos no domínio e tais que:
, para todo no domínio.
Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e