realaçao e funcao

Matemática Discreta
Prof. Tadeu F. Carvalho
Complementos sobre Conjuntos e introdução a Relações e
Funções
I- PRODUTO CARTESIANO
Na teoria de conjuntos, o produto cartesiano de dois conjuntos é uma operação que resulta em outro conjunto, formado por pares ordenados, que pode ser construído ordenadamente a partir do 1º elemento de cada conjunto com cada elemento do 2º conjunto, como o exemplo a seguir.
Exemplos de produto cartesiano.
1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b}, o seu produto cartesiano, denotado por AxB, é o conjunto seguinte:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
Representação gráfica no Plano Cartesiano:

b a (1, b) (2, b) (3, b) (4, b)



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
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(1, a) (2, a) (3, a) (4, a)
1

2

3

4

2. Sejam A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}. O produto cartesiano A x B é dado por:

A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}

3. Sejam A = {x: x N 1  x  4} e B = {x: x R 1  x  3}
(aqui N é o conjunto dos números naturais e R o conjunto dos reais).
Observe como fica A x B no plano cartesiano:

Generalização dessa definição: O produto cartesiano entre n conjuntos A1,
A2,..., Na, denotado por A1 x A2 x ... x An, é o conjunto formado por todas as nuplas ordenadas (a1, a2,..., an), tais que ai Ai, i = 1, 2,..., n.
Exemplos
1. A  X  B  Y  A x B  X x Y.
2. A x B = ø  A = ø  B = ø.
3. A  B  A x B  ø  A x B  B x A.

4. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ ( A x C).
Demostração:
(x, y)  A x (B ∩ C)  (x  A)  (y  B ∩ C)  (x  A)  (( y  B)  (y  C))  ( (x A)  (y  B))  ((x  A)  (y  C))  (x, y)
 A x B  (x, y)  A x C  (x, y)  ((A x B) ∩ (A x C)).

5. A x ( B ∪ C) = (A x B) ∪ ( A x C ).
Número de elementos de um produto cartesiano.
Para conjuntos finitos A e B, temos:
 A x B  =  A  B . (Leia-se, de modo equivalente: #(AxB) = #A x #B).

II - RELAÇÕES
Definição. Uma relação é um conjunto de pares ordenados.
Se A e B são