Quimica

Aula 6 – INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO

A integral indefinida

Definição: Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I, se para todo x Є I, tenos F`(x)= f(x).

Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo I.

Exemplos 1: F(x)= 1/3 x³ é uma primitiva da função f(x) = x², pois F´(x) = x²

2) As funções G(x) = x³/3 + 4 e H(x) = 1/3(x³ +3) também são primitivas da função f(x) = x², pois G´(x) = H´(x) = f(x).

3) A função F(x) = 1/2 sen 2x +c, onde c é ums constante, é primitiva da função f(x)= cos 2x.

Os exemplos mostram que as funções admitem mais de uma primitiva.

Proposição 1: Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então se c é uma constante qualquer, a função G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x)

Proposição 2: Se f´(x) se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f é constante em I.

Proposição 3: Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no internalo I, então existe uma constante c tal que F(x) – G(x) = c para todo x Є I
Dessa proposiçaõ, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f, então toda primitiva de f é da forma

G(x) = F(x) + c

DEFINIÇÃO: SE F(X) É UMA PRIMITIVA DE f(x), A EXPRESSÃO F(X) + C É CHAMADA INTEGRAL INDEFINIDA DA FUNÇÃO F(X) E É DENOTADO POR:

∫ f(x)dx = F(x) + c.

O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx integrando.

Propriedades da integral indefinida:

i) ∫ k f(x)dx = k ∫ f(x)dx ii) ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

Exemplos: a) ∫ x²dx
Solução: x2+1/2+1 = x³/3 , logo
∫ x²dx = x³/3 + c

b) ∫ dx
Solução: ∫ 1dx = x + c

c) ∫ (3x² + 5)dx
Solução: ∫ (3x² + 5)dx = ∫ 3x²dx + ∫ 5dx
= 3 ∫ x²dx + 5 ∫ dx
= 3 x²+1/ 2+1 + 5x + c = = 3 x3/ 3 + 5x + c

d)[pic]= 2/