quimica

UFRGS – DMPA – MAT 01019 – Matem´tica para Agronomia - Lista 1 - 2013/2 a 1. Resolva, por escaclonamento, os sistemas lineares abaixo:

i)

iii)

iv)


x + y + z = 3 x − y + 2z = 2

x + 6y + 3z = 3




x + y + z = 1 ii) 2x + 3y + 4z = 2

−3 x − 2 y − z = 3


 x + 2y − 3z + w = 0 x − 3y + z − 2w = 0

2x + y − 3z + 5w = 0

 x + y − z = 0
2x + 4y − z = 0

3x + 2y + 2z = 0

2. Considere o sistema


 x + y − z = 0
v)
2x − 3y + z = 0

x − 4y + 2z = 0


 x + y − z = 1
2x − 3y + z = 1

x − 4y + 2z = 0

Observe que a matriz dos coeficientes do sistema dado aqui e a matriz dos coeficientes do sistema do item v) do exerc´ ıcio anterior s˜o iguais: apenas os termos independentes dos a dois sistemas s˜o diferentes. No sistema do item v) do axerc´ a ıcio anterior, todos os termos independentes s˜o nulos. Por isso, dizemos que o sistema ´ homogˆneo. Neste caso, como as a e e matrizes s˜o iguais, dizemos que o sistema do item v), ´ o sistema homogˆneo associado ao a e e sistema dado. Sabendo que x=2, y=2 e z=3 ´ uma solu¸˜o do sistema dado e conhecendo e ca a solu¸˜o do sistema homogˆneo associado (vocˆ j´ deve ter resolvido, por escalonamento, no ca e e a exerc´ anterior), expresse, diretamente, a solu¸˜o geral do sistema dado. Justifique sua ıcio ca resposta. 3.

i) Para cada sistema linear acima, cuja matriz dos coeficientes seja quadrada, calcule seu determinante. ii) Vocˆ identifica uma rela¸˜o entre os valores dos determinantes calculados no item anterior e ca e o fato do correspondente sistema ser imposs´ ıvel (sem solu¸˜o), poss´ ca ıvel determinado
(solu¸˜o unica) ou poss´ indeterminado (infinitas solu¸˜es)? Em caso afirmativo, qual ca ´ ıvel co
´ esta rela¸˜o? Justifique suas respostas. e ca iii) Explique porque um sistema linear homogˆneo, caso tenha mais de uma solu¸˜o, possui e ca infinitas solu¸˜es.
co