Questoes De Equacoes 14

Quest˜oes de Equa¸co˜es diferenciais
C´alculo II
Andre Luiz Florencio de Almeida
Eveline Barroso Oliveira
Felype Moura Parente Ramos
Larissa Batista de Lima
01 de Junho de 2015

1

Quest˜ ao 29

PLANO DE INVESTIMENTO Um investidor deposita anualmente D reais em uma conta que oferece uma taxa anual r de juros ,capitalizados continuamente.
a) Explique porque o saldo da conta aumenta a uma taxa dada por: dV = rV + D dT onde V(t) ´e o saldo da conta t anos ap´os o dep´osito inicial. Resolva esta equa¸c˜ao diferencial para expressar V(t) em fun¸c˜ao em fun¸c˜ao de r e D.
b) Amanda pretende se aposentar daqui a 20 anos. Para criar um fundo de pens˜ ao ela faz depositos anuais de 8.000 reais em uma conta remunerada.Se a taxa de juros permanecer constante de 4% ao ano, capitalizados continuamente, qual ser´ a o saldo da conta no final do per´ıodo de 20 anos?
c)Rui calcula que vai precisar de 800,000,00 reais, para se aposentar.Se a taxa de juros ´e de 5% ao ano, capitalizados continuamente,que quantia deve depositar anualmente para poder se aposentar em 30 anos?

1.1

Solu¸c˜ ao a) V = Saldo em fun¸c˜ ao de t. dV = rV + D dt ou seja, a taxa dV/dt ´e proporcional a V, acrescido do investimento inicial
D.
Dica : EDO LINEAR DE 1◦ ORDEM y + p(x).y = q(x) y = e−I
I=

q(x)eI dx + C p(x)dx 1

Tendo essa dica como base, teremos: dV = rV + D dt dV
− r.V = D dt V + (−r).V = D sendo (-r) =p(x) e D= q(x)
Substituindo na dica teremos :
I=

(−r)dt

I = −rt e−I = ert eI = e−rt ent˜ ao:
D.e−rt dt + C

V = ert .

V = ert .[D.e−rt .

−1
+ C] r −1
+ C.ert r −D
V =
+ C.ert r Substituindo t= 0 e tomando V=D na ultima f´ormula teremos:
V = D.

−D
+ C.1 = D r C =D+

D r Assim:
V (t) =

−D
D
+ D .ert r r

b) Temos:
D = R$8, 000, 00 r = 4%a.a
V (20) =?
Substituindo na formula V (t) =
V (20) =

−D r +D+

D rt r .e :

−8000
8000 0.04x20
+ 8000 +
.e
0, 04
0.04

2

V (20) = 200000 + 208000.2, 22
V (20) = 261760, 00
c)Temos:
V (30) = R$800000, 00 t = 30anos r = 0, 05%a.a
Substituindo na formula V