Qualquer coisa é qualquer coisa

Teorema do Valor Intermediário
: Se f(x) é uma função contínua e muda de sinal no intervalo [a , b] , isto é, f(a).f(b) < 0, então existe pelo menos um ponto x* ∈
[a, b] tal que f(x*) =0.
Teorema de Rolle
: Seja f : R
→
R contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Sejam x
1
, x
2
∈
[a, b] tal que f(x
1
)
= f(x
2
) = 0. Então
∃
ξ
∈
(x
1
, x
2
) tal que f
′
( ξ ) = 0.
Assim, se f
′
(x) não muda de sinal em [a, b] então x* é a única raiz de f(x) nesse intervalo.
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Exemplos
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Exemplos
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Exemplos
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Método de Newton-Raphson
Usa uma aproximação linear (a equação da tangente) para encontrar a raiz. Uma nova aproximação será o valor de x onde a reta tangente toca o eixo x:
)
(
)
(
'
1 k k k k x f x f x x
−
=
+
Isaac Newton (1687), Joseph Raphson (1690)
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Método de Newton-Raphson
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Método de Newton-Raphson
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Exemplos
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Exemplos
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Erro de truncamento
A Série de Taylor até a 2ª derivada para f (x) é: com ε
1
∈
[a , x].
Para f (x
*
) = 0 e supondo
0
)
(
≠
′
a f 2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1 a x f a x a f a f x f −
⋅
′
′
+
−
⋅
′
+
=
ε
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
*
1
* a x a f f a x a f a f −
⋅
′
′
′
+
−
+
′
=
ε
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O erro no método de Newton-Raphson é:
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
2
*
1
*
2
*
1
*
a x a f f erro erro a f a f a x a x a f f a x a f a f −
⋅
′
′
′
=
+
′
+
−
=
−
⋅
′
′
′
+
−
+
′
= ε ε
Pode-se avaliar ε 1 e por cotas superiores.
*
x
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Método da Secante
Usa secantes para as aproximações lineares da raiz.
Reta secante passando por C e D.