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Lembramos:
A estrutura formada por um conjunto G, munido de uma operação , é chamada de Grupo se:
i) associatividade da operação ii) existência de elemento neutro para a operação iii) existência de inverso para a operação ()
Se a operação também satisfizer (além das três anteriores) iv) comutatividade da operação
Então o grupo será chamado de Grupo Abeliano.

A estrutura formada por um conjunto A, munido de operações e , é chamada de Anel se:
i) comutatividade da adição ii) associatividade da adição iii) existência de elemento neutro para a adição iv) existência de inverso aditivo (simétrico) ()
v) associatividade da multiplicação vi) distributividade da multiplicação em relação a adição

A estrutura formada por um conjunto K, munido de operações e , é chamada de Corpo se, além de todas as propriedades referentes a Anel, também satisfizer: vii) comutatividade da multiplicação viii) existência de elemento neutro para a multiplicação ix) existência de inverso multiplicativo ()
Decorre das anteriores uma propriedade importante:
x) não existência de divisores de zero

01. Mostre que o conjunto dos reais positivos munido da operação multiplicação usual: , , é um grupo abeliano.
02. Mostre que o conjunto dos reais positivos munido da operação divisão usual: , , não é um grupo.
03. Mostre que o conjunto das matrizes 2x2 de entradas inteiras munido da adição usual de matrizes, , é um grupo abeliano.
04. Mostre que o conjunto das matrizes 2x2 de entradas reais munido da multiplicação usual de matrizes, , não é um grupo.

05. Mostre que o conjunto das matrizes invertíveis 2x2 de entradas reais munido da multiplicação usual de matrizes, , é um grupo. Exiba uma “fórmula” para a determinação do inverso multiplicativo de cada elemento de . Mostre com um exemplo que este grupo não é abeliano.

06. Considere o conjunto das permutações de três elementos S3:

e considere a operação de composição de permutações (feito da