Prova derivada calculo 1

2a Prova de C´lculo I - Engenharia El´trica a e
Prof. Ademir - 18/05/2007
Instru¸˜es:
co
• Resolva as 5 quest˜es abaixo (2,0 pontos cada). o • As solu¸oes devem conter o desenvolvimento e/ou justificativas. c˜ • Esta folha n˜o precisa ser entregue, apenas as solu¸oes. a c˜
• A prova pode ser feita com l´pis ou caneta. a Quest˜es: o √
1. Considere f : IR → IR definida por f (x) = 2x − x2 + 3.
(a) Calcule f (x).
(b) Verifique que f (x) = 0, para todo x ∈ IR.
(c) Observando que f (0) > 0, mostre que f (x) > 0, para todo x ∈ IR.
2. Considere f : IR → IR definida por f (x) = x3 − 3x2 − x + 3.
(a) Determine as equa¸oes das retas tangentes ao gr´fico de f , que s˜o paralelas ` c˜ a a a reta de equa¸ao y = x. c˜ (b) Encontre o ponto de interse¸ao da reta tangente ao gr´fico de f em P = (0, 3) c˜ a com o eixo x.
3. Um reservat´rio em forma de cone circular reto ´ abastecido com ´gua a uma taxa o e a 3 de 25 m /min. Sabendo que a altura do reservat´rio ´ 12 m e o raio da base ´ 5 m, o e e determine a velocidade na qual o n´ da ´gua h est´ subindo nos instantes em que ıvel a a h = 2 e h = 8, respectivamente. x4 5x3
−
+ 3x2 − 1, pede-se:
4
3
(a) Os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .
(b) Os pontos extremos locais e/ou globais.

4. Dada a fun¸˜o f : IR → IR por f (x) = ca (c) Um estudo da concavidade do gr´fico. a (d) Os pontos de inflex˜o. a (e) O gr´fico de f . a π π
→ IR definida por f (x) = y = arc tg x.
5. Calcule a derivada de f : − ,
2 2 d (Sugest˜o: mostre primeiro que a tg y = 1 + tg 2 y.) dy BOA PROVA

Solu¸˜es: co x
.
+3 x2 (b) f (x) = 0 ⇔ 4 = 2
⇔ 3x2 + 12 = 0. Como esta ultima igualdade n˜o tem
´
a x +3 solu¸˜o real, temos que f (x) = 0, para todo x ∈ IR. ca (c) Como f (0) > 0, se existisse x ∈ IR com f (x) < 0, o teorema do valor intermedi´rio poderia ser usado para garantir a existˆncia de x1 ∈ IR com a e

1. (a) f (x) = 2 − √

x2

f (x1 ) = 0, contradizendo