Projeto Calculo

Universidade Federal de Santa Catarina

Projeto de Cálculo aplicado

14 de Novembro de 2014

Regras de derivação. Página 191. Cálculo. Volume 1. 6ª edição.
James Stewart
Projeto Aplicado

Um caminho de aproximação para uma aeronave pousando é mostrado na figura a cima e ele satisfaz as seguintes condições:
(i) A altitude de cruzeiro é h quando a descida começa a uma distância horizontal l do ponto de contato na origem;

(ii) O piloto deve manter uma velocidade horizontal constante v em toda descida;

(iii) O valor absoluto da aceleração vertical não deve exceder uma constante k ( que é muito menor que a aceleração da gravidade).
1) Encontre um polinômio cúbico P(x) = ax³ + bx² + cx + d que satisfaça as condições (i) impondo condições adequadas a P(x) e P’(x) no início da descida e no ponto de contato.

2) Use as condições (ii) e (iii) para mostrar que:

3) Suponha que uma companhia aérea decida não permitir que a aceleração vertical do avião exceda 1.385 km/h². Se a altitude de cruzeiro do avião for 11.000 m e a velocidade for 480 km/h, a que distância do aeroporto o avião deveria começar a descer?

4) Trace o caminho de aproximação se as condições dadas no Problema 3 forem satisfeitas.

Resolução

1) Tendo o polinômio P(x) = ax³ + bx² + cx + d, deverão se encontrar coordenadas (x,P(x)) que tornem possível a determinação de cada um dos coeficientes.

Partindo da análise do gráfico foi possível identificar coordenadas para P e sua derivada P’:

P(0) = 0 P(l) = h P’(0) = 0 P’(l) = 0

Realizando a derivação de P(x) encontramos um polinômio de segundo grau como derivada de P(x):

P’(x) = 3ax²+ 2bx + c.

Com as coordenadas já identificadas e obtidos ambos os polinômios que as contêm é possível através da substituição identificar cada um dos coeficientes:

P(0) = 0  P(0) = a.0³ + b.0² + c.0 + d 0 = d