Programação Linear

Programação linear
Em matemática, problemas de Programação Linear (PL) são problemas de otimização nos quais a função objetivo e as restrições são todas lineares.
Programação Linear é uma importante área da otimização por várias razões. Muitos problemas práticos em pesquisa operacional podem ser expressos como problemas de programação linear. Certos casos especiais de programação linear, tais como problemas de network flow e problemas de multicommodity flow são considerados importantes o suficiente para que se tenha gerado muita pesquisa em algoritmos especializados para suas soluções. Vários algoritmos para outros tipos de problemas de otimização funcionam resolvendo problemas de PL como subproblemas. Historicamente, idéias da programação linear inspiraram muitos dos conceitos centrais de teoria da otimização, tais como dualidade, decomposição, e a importância da convexidade e suas generalizações.

Figura 1 Exemplo de poliedro (bidimensional) resultante das condições de um problema de programação linear.

Teoria
Geometricamente, as restrições lineares definem um poliedro convexo, que é chamado de conjunto dos pontos viáveis. Uma vez que a função objetivo é também linear, todo ótimo local é automaticamente um ótimo global. A função objetivo ser linear também implica que uma solução ótima pode apenas ocorrer em um ponto da fronteira do conjunto de pontos viáveis.
Existem duas situações nas quais uma solução ótima não pode ser encontrada. Primeiro, se as restrições se contradizem (por exemplo, x ≥ 2 e x ≤ 1) logo, a região factível é vazia e não pode haver solução ótima, já que não pode haver solução nenhuma. Neste caso, o PL é dito inviável.
Alternativamente, o poliedro pode ser ilimitado na direção da função objetivo (por exemplo: maximizar x1 + 3 x2 sujeito a x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≥ 10), neste caso não existe solução ótima uma vez que soluções arbitrariamente grandes da função objetivo podem ser construídas, e o problema é dito ilimitado.
Fora estas duas