Professor refem

Capítulo 3

CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
3.1 Introdução
Definição 3.1. Sejam r > 0 e x0 ∈ Rn . A bola aberta de centro x0 e raio r é denotada por B(x0 , r) e definida por: B(x0 , r) = {x ∈ Rn / x − x0 < r}. Se n = 2; x0 = (x0 , y0 ) e x = (x, y); logo x − x0 = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 :

B(x0 , r) = {(x, y) ∈ R2 /(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r 2 } B(x0 , r) é o "interior"de um círculo centrado em (x0 , y0 ) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no plano de origem em (x0 , y0 ) e norma menor que r. Neste caso, o conjunto B(x0 , r) é chamado disco aberto de centro (x0 , y0 ) e raio r.

B(x,r) y r
0

(x ,y )
0 0

x

0

Figura 3.1: Disco aberto. Analogamente, se n = 3; x0 = (x0 , y0 , z0 ) e x = (x, y, z): B(x0 , r) = {(x, y, z) ∈ R3 /(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < r 2 } 69

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CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA

B(x0 , r) é o "interior"de uma esfera "sólida"centrada em (x0 , y0 , z0 ) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no espaço de origem em (x0 , y0 , z0 ) e norma menor que r.

r

x

B(x,r)

Figura 3.2: Bola aberta. Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita.

3.2 Conjuntos Abertos
Definição 3.2. A ⊂ Rn é dito aberto em Rn se para todo x ∈ A, existe B(x, r) tal que B(x, r) ⊂ A.

A

Figura 3.3: Conjunto aberto. Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por definição, o conjunto vazio e Rn são conjuntos abertos em Rn . Exemplo 3.1. [1] Pela definição, {x} não é aberto em Rn , pois toda bola ou disco aberto de centro x não está contido em {x}. Em geral, os conjuntos do tipo {x1 , x2 , x3 , ....., xn / xi ∈ Rn } não são abertos. [2] R "pensado"como a reta {(x, 0) / x ∈ R} ⊂ R2 não é aberto no plano, pois qualquer disco aberto centrado em (x, 0) não está contido em R.

3.3. CONJUNTO FRONTEIRA

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x

Figura 3.4: Exemplo [2].

[3] A = (a, b) × (c, d) é aberto em R2 . De fato, para todo (x, y) ∈ A, a < x < b e c < y < d,