porporção

Divisão em duas partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas
A

p
=
B

q
A solução segue das propriedades das proporções:
A

p
=
B

q
=
A+B

p+q
=
M

p+q
= K
O valor de K é que proporciona a solução pois:
A = K p e B = K q
Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:
A

2
=
B

3
=
A+B

5
=
100

5
= 20
Segue que A=40 e B=60.
Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:
A

8
=
B

3
=
A-B

5
=
60

5
=12
Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais
Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.
X1

p1
=
X2

p2
= ... =
Xn

pn
A solução segue das propriedades das proporções:
X1

p1
=
X2

p2 =...=
Xn

pn
=
X1+X2+...+Xn

p1+p2+...+pn
=
M

P
= K
Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:
A

2
=
B

4
=
C

6
=
A+B+C

P
=
120

12
=10
logo A=20, B=40 e C=60.
Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.
A solução segue das propriedades das proporções:
A

2
=
B

4
=
C

6
=
2A+3B-4C

2×2+3×4-4×6
=
120

-8
= – 15 logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)

Divisão em duas partes