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Equação geral da circunferência

E

Equação reduzida da circunferência

Guaramirim, 18 de agosto de 2011

CIRCUNFERÊNCIA

É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r.

O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

1. Equação reduzida
[pic]

Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se:

d (Q, P) = r ou [pic]

Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x - a)2 + (y - b)2 = r2 (equação reduzida da circunferência).

Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será:

x2 + y2 = r2

2. Equação geral ou normal

Desenvolvendo a equação reduzida (x - a)2 + (y - b)2 = r2, vamos obter:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - r2 = 0

Portanto, x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 é a equação geral da circunferência.

Observação – A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na forma x2 + y2 + Ax - By + C = 0, onde

A = -2a, B = -2b e C = a2 + b2 - r2

Posição de uma reta em relação a uma circunferência Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência [pic]de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e [pic]:
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[pic] Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência [pic]:
(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
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Assim:
[pic]
[pic]
Condições de tangência entre reta e circunferência Dados uma circunferência [pic]e um ponto P(x, y) do