poliedros

Vamos “descobrir” novos poliedros!...

Objectivo do trabalho: descobrir novos poliedros obtidos dentro de outros sólidos, neste caso, é o octaedro.
Material utilizado: octaedro de acetato para uma melhor visualização.

Descrição do processo utilizado:
1.No octaedro substituímos cada face por um vértice situado no centro e obtivemos um novo sólido - cubo.
Substituímos cada vértice do por um plano perpendicular á respectiva diagonal espacial que contém esse vértice e obtivemos um cubo. Substituímos também cada aresta por um vértice situado no seu ponto médio e obtivemos um novo sólido – cuboctaedro. É constituído por 6 faces quadradas e por 8 faces de triângulos equiláteros.

2.Volume do octaedro
Aresta a
Substituímos cada aresta pelo seu ponto médio.
Obtemos um poliedro com 6 faces quadrangulares e 8 com forma triangulo equilátero.
Para obtermos este poliedro a partir do octaedro vamos retirar ao octaedro 6 pirâmides quadrangulares regulares.
Cada aresta é igual a a/2.
Se “unirmos” 2 daquelas pirâmides pela base, obtemos um octaedro semelhante ao inicial.
A razão de semelhança é ½.
A razão entre volumes é 1/8.
Com 6 pirâmides podemos formar 3 pequenos octaedros.
Quando os retirarmos, tiramos 3*1/8 do volume do octaedro grande.

3. Ao substituirmos cada face do octaedro por um vértice obtemos um cubo.
Ao substituirmos cada face do cubo por um vértice obtemos um octaedro e assim sucessivamente.

Características
Cubo
Octaedro
Nº de faces
6
8
Nº de vértices
8
6
Nº de arestas
12
12

4. Substitui cada face do cubo por um vértice situado no seu centro e obtive um octaedro.
Ao substituir cada aresta do cubo por um vértice situado no seu ponto médio vamos obter um sólido com 12 vértices.

5. Volume do cubo e do sólido com 12 arestas
Aresta do cubo é a.
Volume do cubo = a ao cubo Volume da pirâmide pequena = 1/3* a ao quadrado a dividir por 8*a a dividir por 2 = a ao