Poisson

Fórmulas de Poisson
Consideremos dois referenciais cartesianos |A (AXYZ) e |R (Rxyz). Por exemplo, |A (referencial do observador A) fixo em galáxias e |R (referencial do observador R) fixo em uma espaçonave. Em relação ao referencial |A , dito absoluto, o referencial |R , dito relativo, executa movimento qualquer, inclusive rotação com velocidade (t).
O referencial |R tem terno de base (i, j, k) que para o observador R é fixo, invariável. Para o observador A é invariável o terno de base (I, J, K) do referencial absoluto |A , ao passo que o terno de base (i, j, k) de |R gira com velocidade de rotação (t). Cada observador identifica-se com seu próprio referencial.
Aplicando-se a conclusão do parágrafo precedente obtêm-se as derivadas dos versores i, j, k tais como são observados por A, em |A , que os vê girando. Resultam as Fórmulas de Poisson:

Derivadas Absolutas e Relativas
Seja f(t) uma função vetorial do tempo, contínua e derivável. A mesma pode ser expressa tanto em |A como em |R , como se indica a seguir:
Em |A : f(t) = FX.i + FY.j + FZ.k , onde FX(t), FY(t) e FZ(t) são as coordenadas do vetor f(t) no referencial |A .
Em |R : f(t) = Fx.i + Fy.j + Fz.k , onde Fx(t), Fy(t) e Fz(t) são as coordenadas do vetor f(t) no referencial |R .
Para a transformação |R ==> |A exprime-se cada um dos versores i, j, k em função de suas direções (cossenos diretores) e dos versores I, J, K; e vice-versa para a transformação de |A ==> |R . O leitor pode identificar-se ora com o observador A em |A , ora com o observador R em |R , conforme convenha.
Com f(t) expressa em |A , obtém-se imediatamente a derivada dita absoluta:

Com f(t) expressa em |R , obtém-se a mesma derivada absoluta desde que se leve em conta a rotação do terno de base (i, j, k):

Agrupando-se os termos convenientemente:

E aplicando-se as Fórmulas de Poisson, veem:

No segundo membro, os três primeiros termos formam a derivada relativa de f(t), a derivada que