o processo poisson

O Processo de Poisson

Muitos fenômenos podem ser vistos como uma grande quantidade de “acontecimentos” separados e distintos ocorrendo em relação a um “espaço de acontecimentos” contínuos. Se o “espaço de acontecimentos” fosse o tempo, os acontecimentos poderiam ser qualquer coisa, como desintegração de átomos individuais de urânio ou mesmo suicídios no metrô de São Paulo. Por outro lado, o “espaço” contínuo pode ser o volume de um suprimento de água do reservatório de uma cidade e os “acontecimentos” ou “eventos” podem ser a existência de bactérias coliformes dentro deste volume de água.
Um fenômeno como qualquer dos descritos acima é chamado de Processo de Poisson, desde que as seguintes condições sejam cumpridas:
1) Se a variável t representa o espaço contínuo, então a probabilidade de um evento em um intervalo pequeno Δt de t é proporcional a Δt;
2) A probabilidade de dois ou mais eventos em um mesmo intervalo pequeno Δt de té desprezível;
3) Se Δt1 e Δt2 forem dois intervalos pequenos de t não-superpostos, então a ocorrência ou a não-ocorrência de um evento em Δt1 não exercerão influência sobre a ocorrência ou não-ocorrência de um evento em Δt2.
Sob tais condições, a probabilidade de ocorrerem k eventos em t unidades do espaço contínuo é dada pela fórmula de Poisson:

onde a constante λ é a média contínua do número de acontecimentos pode unidade do espaço.
Exemplo 1: Sabe-se que existem bactérias coliformes no reservatório de suprimento de água de uma cidade a uma taxa média de λ = 2 bactéria por centímetro cúbico de água. Considere que a presença da bactéria coliforme em uma amostra desta água é um Processo de Poisson, isto é, um acontecimento é a ocorrência de uma única bactéria e o espaço contínuo é o volume de água envolvido. Se uma amostra de 9 centímetro cúbicos de água é retirado do reservatório, qual é a probabilidade de a amostra conter exatamente 20 bactérias coliformes?
Temos aqui t =9 cm3, λ = 2 bactérias por cm3 em média e k = 20