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Progressões Aritméticas (PA)
Define-se progressão aritmética como toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor por um número constante r. r é denominado a razão da PA. Em símbolos: an = an-1 + r (n >= 2)
As PA são classificadas em três tipos:
Uma PA é crescente quando r > 0, ou seja, quando cada termo é maior do que seu antecessor (claro, a partir do segundo). De fato, da definição decorre que: an – an-1 = r > 0 an – an-1 > 0 an > an-1
Uma PA é constante quando r = 0, ou seja, quando cada termo é igual ao antecessor: an – an-1 = r = 0 an – an-1 = 0 an = an-1
Uma PA é decrescente quando r < 0, ou seja, quando cada termo é menor do que seu antecessor: an – an-1 = r < 0 an – an-1 < 0 an < an-1
Fórmula do Termo Geral de uma PA
Seja (a1; a2; a3; …; an-1; an; …) uma PA qualquer de razão r. Então seu enésimo termo (an) é: an = a1 + (n – 1)r
Demonstração:
Sabemos, da definição de uma PA, que a diferença entre cada termo e seu antecessor é igual a razão, isto é: a2 – a1 = r, a3 – a2 = r, a4 – a3 = r, …, an – an-1 = r
Somando, membro a membro, estas n – 1 igualdades, obtemos: a2 – a1 + a3 – a2 + a4– a3 + … + an – an-1 = (n – 1)r
Cancelando os termos comuns:
-a1 + an = (n – 1)r => an = a1 + (n – 1)r
Observações:
· Da definição decorre que uma PA fica determinada quando conhecemos o primeiro termo e a razão;
· Em uma PA finita a1 e an são denominados os seus extremos e os demais termos os meios aritméticos;
· A fórmula do termo geral de uma PA nos diz que para calcular o termo de ordem n é suficiente somarmos (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo;
· Do mesmo modo, essa fórmula permite calcular o número de termos de uma PA finita conhecendo-se seus extremos e a razão.
Termos Equidistantes dos Extremos
Dados os dois termos ap e aq de uma PA finita com n termos, dizemos que eles são equidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem ap – (p – 1) termos – é igual ao número de