Otimização de métodos numéricos

Exercícios do capítulo 10 resolvidos

Equações diferenciais ordinárias (EDO) ocorrem com muita freqüência na descrição de fenômenos da natureza.
Há vários métodos que resolvem analiticamente uma EDO, entretanto nem sempre é possível obter uma solução analítica. Neste caso, os métodos numéricos são uma saída para se encontrar uma solução aproximada.
O objetivo desta monografia é discutir o desenvolvimento e a utilização de dois procedimentos numéricos para resolução de EDO’s. Para isso, vamos nos concentrar, principalmente, em problemas de valor inicial para equações de primeira ordem. Através desse trabalho vamos apresentar os métodos de Euler e Runge-Kutta, alguns exemplos, comparações e uma pequena análise sobre o erro.
O capítulo 1 traz noções básicas necessárias para melhor entendimento dos demais capítulos. Já no capítulo 2 apresentaremos o procedimento numérico conhecido como Método de Euler, que emprega a idéia de que uma reta tangente pode ser usada para aproximar os valores de uma função em uma pequena vizinhança do ponto de tangência. No capítulo 3 estudaremos o método de Runge-Kutta, de primeira, segunda, terceira e quarta ordem.
Carl David Runge (1856-1927), matemático e físico alemão e M. Wilhelm Kutta
(1867-1944), matemático também alemão.
Esses métodos são obtidos por meio da expansão em série de Taylor com resto de
Lagrange.
Finalmente no capítulo 4 realizaremos uma análise sobre os erros.5
A utilização de um procedimento numérico carrega duas fontes fundamentais de erro. O erro de truncamento e o erro de arredondamento.
O erro de truncamento global possui duas causas: primeiro, em cada passo usamos uma fórmula aproximada para determinar a solução aproximada e segundo, os dados de entrada em cada etapa estão apenas aproximadamente corretos, já que em geral a solução exata não é igual à solução aproximada. Se supusermos que a solução exata é igual à solução aproximada, então o erro efetuado em cada