Otimizacao

Aula 5 – Problemas de otimização (ou problemas de maximização e minimização)

Os problemas apresentados abaixo são exemplos de onde podemos aplicar o conceito de máximos e mínimos e otimizar os nossos resultados.
Na solução de tais problemas práticos, o maior desafio está frequentemente em converter o problema em um problema de otimização matemática estabelecendo uma função que deve ser maximizada ou minimizada. Vamos lembrar os princípios de máximos e mínimos e adaptá-los para esta situação.
O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente qual a função a ser analisada.
Com a função bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado e então proceder a rotina matemática aplicando definições de máximos e mínimos.( derivada primeira para achar os pontos críticos e derivada segunda para achar se é ponto de máximo ou de mínimo)
Exemplo 1:
De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
Solução:
A calha está ilustrada na figura abaixo, onde x denota o número de centímetros a ser dobrado de cada lado. A largura da base da calha é 30 - 2x cm.

A capacidade da calha será máxima quando a área do retângulo de lados x e 30 – 2x for máxima. Denotando esta área por f(x) , temos: f(x) = x (30 - 2x) = 30x – 2x2
Se x = 0 ou x = 15, não se forma nenhuma calha (a área do retângulo seria f (0) = 0 = f (15)).
Diferenciando:
f´(x) = 30 – 4x
Resolvendo-se esta equação, o único numero critico encontrado é x=7,5 .
Fazendo-se a derivada segunda para observar se esse valor é de máximo ou de mínimo, temos f´´(x) = -4 0 , então esse ponto é o valor de mínimo local da função.
Para o número 7,47 teremos V´´(x) = 24.(7,47) -368 =