Otimiza O Com Resposta

1- Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 400 π cm³. O custo do material usado para a base do recipiente é de 32 centavos o cm² e o custo do material usado para a parte curva é de 10 centavos por cm². Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material. 2.π.R.H= Área Lateral
V = Ab x H
V = π.R².H π.R² = Área Base
V = 400π
400π = π.R².H
400 = R².H
H = 400/R²

C = 0,32.Ab + 0,10.Al
C = 0,32.π.R² + 0,10.2.π.R.H
C = 0,32.π.R² + 0,20.π.R.H

C = 0,32.π.R² + 0,20.π.R.400/R²
C = 0,32.π.R² + π.80/R
C = 0,32.π.R² + π.80.R^(-1)

C(R) = 0,32.π.R² + π.80.R^(-1)
C'(R) = 2.0,32.π.R + (-1).π.80.R^(-2)
C'(R) = 0,64.π.R - π.80.R^(-2)
0 = 0,64.π.R - π.80.R^(-2)
0,64.π.R = π.80.R^(-2)
R³ = π.80 / 0,64.π
R³ = 125
R = 5 cm

Altura do Recipiente:
H = 400/R²
H = 400/25
H = 16 cm

O recipiente terá 5 cm de raio e 16 cm de altura .

2 - Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 30 m e raio de 6 m. A água está fluindo para dentro do tanque a uma taxa de 5 m³/min. Quão rápido se eleva o nível de água no tanque quando a água estiver com 10 m de profundidade?

Resposta: Conforme a água enche o tanque, a parte cheia forma um cone de raio r e altura h. Por semelhança de triângulos, temos:

O volume de água na parte cheia é V = πr²h/3, substituindo r = h/5, obtemos:

Derivando esta última expressão em relação à variável t, obtemos:

Observe que dV/dt é a taxa de aumento do volume, ou seja, é o fluxo de água que entra, que é 5 m³/min. Portanto, quanto h = 10, temos: