Operador momento angular

Momento angular L

i


L  r p  x

 k y

px

Definição:

 j py

z  L x  yp z  zp y ... Mais permutações cíclicas pz





ˆˆˆˆ
L  r  p  r   i  


ˆ
ˆ ˆ ˆˆ
 L x   yp z  zp y   i y  z ...
 z
y 





ˆˆ
Uma vez que x, p x são nulas, então

Lx , Ly  

Mais permutações cíclicas

ˆˆ
ˆˆ
  y, p y   z, p z   i e as outras combinações de comutação

iLz

Mais permutações cíclicas

Definindo o operador

ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ
ˆ
L2  L  L  L2  L2y  L2 x z

Concluímos que:

L , L   L , L   L , L  
2

2

x

2

y

z

0

 L   L x  iL y


Podemos escrever
 L  L  iL

x y Definindo os operadores  L L 

L2  L2z  Lz

 L- L  

 L x  1 L   L  
2


 L   i L  L 

y 2 

L2  L2  Lz z  L  , L-   L  L-  L- L   2Lz

 Lz , L    Lz L   L  Lz   L 

Pois:

Lz , Lx
, Ly
Lz , Lx   iLz , L y     iLz  Lx  iL y   L







iL y

 L  , L2  L  L2  L2 L   0

iL x

Sabendo que:
 Operador hermitiano determina uma base ortonormal de auto vetores
 Operadores que comutam entre si podem ser diagonalizados simultaneamente, então podemos escolher estados que sejam ao mesmo tempo auto-vetores do operador L² e da componente Lz do momento angular. Ou seja vamos escolher estados

, m

 , m  ' , m'    ' mm'

tais que

L2 , m   2 , m ,

e que obedecem

Lz , m  m , m .

Note que:

1) o autovalor  tem que ser positivo, pois:

   , m L , m 
2

2

 pois  , m L2 , m  , m  2 , m   2 , m , m   2

 

1 autovetors ortonormais


 , m L2  L2y  L2 , m  x z



L2 x , m

2



L2y

, m

2



L2 z , m

2

0






2) Os estados





L  , m

 L  , L2  0

também são auto vetores dos