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Lista 2 – Álgebra Linear (Matrizes inversas)

ÁLGEBRA LINEAR
MATRIZ INVERSA

Seja A é uma matriz quadrada n  n. Chamamos de matriz inversa de A à uma matriz B, também n  n, que satisfaz a seguinte propriedade: A  B  B  A  I , em que I  I n é a matriz identidade n  n. Se esta matriz B existir, A será chamada de matriz invertível.
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por

A 1 , logo:

A  A1  A1  A  I

Exemplo
 2 3
1. Ache a inversa da matriz A  

1 4 
2 3 a b  1 0
2a  3c 2b  3d  1 0
1 4   c d   0 1   a  4c b  4d   0 1 

 
 


 

2a  3c  1
4
1
a e c

5
5
a  4c  0

 4

Logo A1   5
1

 5

e

2b  3d  0
3
2
b e d 

5
5
b  4d  1

3
 
5
2 

5 

a b  2 3 1 0
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: 



 c d  1 4 0 1

Teorema
Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.

Observações

i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então A B é também invertível e

 A  B1  B 1  A1 .

ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se det A  0 . iii) Se A é uma matriz quadrada e det A  0 , então det A1 

1
.
det A

Teorema
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares transforma I em A1 .

Exemplo
 1 2 1
2. Ache a inversa da matriz A   1 2 1


 1 2 3



 1 2 1  1 0 0 L1  L2
 1 2 1  0 1 0



 1 2 3  0 0 1



 1 2 1  0 1 0 L2  L2  L1
  1 2 1  1 0 0



 1 2 3  0 0 1 L3  L3  L1



1
1 2 1  0 1 0 L2  L2
4
0 4 2  1 1 0 



0 4 4  0 1 1 



1 2

0 1
0 4



1 0

0 1

0 0



1
2
1
4
1

0  
1

2
2 

1

0
1
L3  L3
2

2
1
0

4

0 1



1  0
1
1

2
4
4  0

