Números de ouro

Uma Manhã nos Departamentos de
Matemática

O Misterioso
Número de Ouro
Rosa Ribeiro e Céu Silva
Departamento de Matemática Pura

O Misterioso Número de Ouro

A razão diagonal/lado num pentágono regular é um número que tem fascinado muita gente desde a Antiguidade
Clássica até aos nossos dias e que é conhecido por número de ouro.

O Misterioso Número de Ouro
O número de ouro aparece relacionando as dimensões de um rectângulo especial, que por esse facto se designa por rectângulo de ouro.

O Misterioso Número de Ouro
O número de ouro foi estudado pelos Gregos num contexto geométrico.
Euclides (Elementos II,11 e VI,30) dividiu um segmento de recta AB em duas partes tais que ⎢AP ⎢: ⎢PB ⎢= ⎢AB ⎢: ⎢AP ⎢ ou x : 1 = x+1 : x
A

P

B
1+√5

A razão é o número de ouro e o seu valor exacto é

2

O Misterioso Número de Ouro

Jacopo dei Barbari
Luca Pacioli e o duque de Guidobaldo
Museu de Capodimonte, Nápoles

Luca Pacioli (1445,1514), De Divina Proportione, 1509

O Misterioso Número de Ouro

Leda Atómica
(Salvador Dali, 1949)

Piero della Francesca, Leonardo da Vinci, Dürer, Mondrian, Dali ...

O Misterioso Número de Ouro

Nautilus marinho

O Misterioso Número de Ouro
Suponha-se um par de coelhos recém-nascidos, uma fêmea e um macho, colocados num jardim. Os coelhos podem acasalar ao fim de um mês de vida, de tal forma que ao fim do segundo mês pode nascer um novo par de coelhos. Suponha que os seus coelhos não morrem e que, cada mês a partir do segundo mês de vida, cada casal origina um novo casal. Quantos pares de coelhos haverá ao fim de um ano? O problema original foi estudado por Fibonacci em 1202, para investigar o modo de reprodução dos coelhos em condições ideais

O Misterioso Número de Ouro
A sucessão de Fibonacci e o número de ouro
Número
de pares

Números de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, ...
Qual será o seguinte?
Fn+1 = Fn+ Fn-1
Razões:
1
1

2
1

3
2

5
3

Fn+1
Fn