Números binomiais

Números binomiais
Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)n iremos calcular as expressões seguintes considerando n ≤ 3.

(x + y)0 = 1
(x + y)¹ = x + y
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³

Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação para cálculos quando n > 3. Observe:
(x + y)4 = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³) x4 + 3x³y + 3x²y² + xy³ + xy³ + 3x²y² + 3xy³ + y4 x4 + 3x³y + 6x²y² + 2xy³ + y4

De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para cálculos em que n assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:

com n Є N, m Є n e m ≤ n.

Situações particulares

Destacamos que os coeficientes binomiais serão de grande importância na utilização da seguinte expressão
(x + y)n

Triângulo de Pascal

Os coeficientes binomiais podem ser organizados num triângulo denominado triângulo de Pascal ou de Tartaglia.

Note na organização do triângulo, pois os numeradores iguais se encontram numa mesma linha e os denominadores iguais se encontram numa mesma coluna.

Substituindo os binomiais pelos seus respectivos valores:

Soma dos elementos por linha no triângulo de Pascal:

Linha 1 = 1 = 20
Linha 2 = 1 + 1 = 2¹
Linha 3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 2²
Linha 4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³
Linha 5 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
Linha 6 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 e assim sucessivamente.

Binômio de Newton
Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton, esse estudo veio para complementar o estudo de produto notável.
Produto notável diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro monômio mais