Nao nao

3º Mini-Teste de Análise Matemática I
Curso: Eng. Informática Ano: 1º Semestre: 1º
(cotação)

2006/01/20 Duração: 1h30m

1.
(3,0) (4,0)

Utilizando um método adequado, calcule as seguintes primitivas:

a) b)

∫ cos x ⋅ ln (sin x ) dx ;
2

∫

1 dx . x (x 2 + 2 )
2

2.
(4,0)

Calcule os seguintes integrais:

a)

∫

3 1
+∞

1 x
3 2

x2 + 1

dx ;

(3,0)

b)

∫

0

1 dx . x+2

(3,0)

3. Estabeleça o integral que permite determinar a área da região do plano 2 limitada por y + x ≥ 0 e ( x − 2 ) + y 2 ≤ 4 . 4. Calcule o comprimento do arco da curva entre y = ln cos x , para x compreendido

(3,0)

π
4

e

π
3

.

FORMULÁRIO
REGRAS DE DERIVAÇÃO:

( f k )′ = k f k−1 f ′ (k = const.)

( f . g )′ = f ′.g + f .g ′

⎛ f ⎞ f ′.g − f .g ′ ⎜ ⎟ = ⎜g⎟ g2 ⎝ ⎠

′

(cos f )′ = − f ′ sen f

( tg f )′ = f ′ sec 2 f

(cotg f )′ = − f ′ cosec 2 f f′ f ln a (a ∈ IR + \ {1})

f f (a )′ = a f ′ ln a (a ∈ IR + \ { }) 1
PRIMITIVAS IMEDIATAS:

(log a f )′ =

f +c P⎛ f ′ f k ⎞ = ⎟ ⎜ ⎠ k +1 ⎝ f⎞ 1 f ⎛ a +c P⎜ f ′ a ⎟ = ⎠ ln a ⎝

k +1

P ( f ′ sin f ) = − cos f + c P⎜ ⎜
⎛ f ′⎞ ⎟ = ln f + c ⎟ ⎝ f ⎠

P ( f ′ cos f ) = sin f + c P⎜ ⎜
⎛

f′ ⎞ ⎟
2

⎝1+ f

⎟ ⎠

= arctan f + c

⎛ ⎞ ⎜ f′ ⎟ P⎜ ⎟ = arcsin f + c ⎜ 1− f 2 ⎟ ⎝ ⎠

P ( f ′ sec f ) = ln sec f + tan f + c

PRIMITIVAS POR SUBSTITUIÇÃO: Tipo de função: Substituição:

R x, ax + b

(

)
2 2

ax + b = t 2 x= x=

( R (x, R (a

R x, a 2 + b 2 x 2
2

rx

) a −b x ) , a ,...) sx a a tan t ou x = sh t b b a sin t b

t = a mx , x = tm,

m = m.d .c.(r , s,...) m = m.m.c.(q, s,...)

⎛ p r ⎞ R⎜ x q , x s ,... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS: 1 1 + tan 2 x = sec 2 x sec x = cos x 1 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x ) cos 2 x = (1 + cos 2 x ) 2 2

1 + cot 2 x = cos sec 2 x tan x = sin x cos x