Métodos de Volumes Finitos

Volumes Finitos
Prof. Janaina K. Andreazza

Introdução


Os modelos matemáticos (MM) utilizados para solucionar problemas em engenharia, em sua maioria, são baseados nos princípios de conservação, que representam uma dada lei física de preservação da integridade de uma dada grandeza, ao longo do tempo ou ao longo do processo.
Quando o MM é expresso para uma região infinitesimal de um dado meio, obtém-se um EDO ou EDP, que é chamada EQUAÇÃO DE
CONSERVAÇÃO da grandeza envolvida. Por exemplo, para a conservação de massa no escoamento de um fluido, a equação da continuidade em geometria cartesiana é:
Eq. (1)

Introdução
Outro exemplo, para a conservação da energia térmica para um meio fluido, equação da energia em geometria cartesiana é:

Onde  é a densidade do fluido, t é o tempo, (x, y, z) são as coordenadas cartesianas e (u, v, w) são as componentes do vetor velocidade correspondes às direções (x, y,
z), c é o calor específico a pressão constante, k é a condutividade térmica, T á a temperatura e Q é a taxa de geração de calor no meio por unidade de volume.

Por similaridade, as equações de conservação podem ser escritas:

Forma conservativa ou divergente
Onde  é a grandeza conservada,  é a difusividade desta grandeza e S é o termo de geração. Fig. 1 Estrutura do volume finito da malha bidimensional O balanço de massa em um volume finito em duas dimensões espaciais: Eq. (2)
Eq. (3)

A Eq. (2) também pode ser obtida da integração da Eq. (1), sem o termo w, utilizando o operador integral:
Eq. (4)
Diferença entre o MDF e o MVF :
MDF: baseia-se na aplicação da equação diferencial em pontos discretos de uma malha e na utilização de aproximações das derivadas utilizando séries de Taylor.
MVF: aplica a equação diferencial de conservação a subdomínios de uma determinada malha através da sua iteração em cada volume.

Fig. 2 Estrutura de malha unidimensional de VF

Fig. 3 Estrutura de malha bidimensional de VF

As figuras mostram a estrutura básica de uma