Métodos de Refinamento-CálculoNumérico

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Métodos de Refinamento
5.1 Resumo do método iterativo
Após isolar a raiz em um intervalo [a, b], a etapa seguinte irá refinar o intervalo para determinar com mais precisão a raiz através de métodos numéricos iterativos.
Iteração = um ciclo de execução
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Início
Dados iniciais
Cálculos iniciais
Primeira iteração: k = 1
Calculo da nova aproximação k
Resultado próximo da solução? Sim
Fim
7. Não
Cálculos intermediários
8. Incremente iteração: k = k + 1
9. Vá para 5

Métodos:
Método da Bisseção
Método da Posição Falsa
Método do Ponto Fixo
Método de Newton-Raphson
Método da Secante

Cálculos finais

5.2 Método da Bisseção
(a+b)/2 (a+b)/2

Consiste na redução da amplitude do intervalo até se atingir a precisão requerida (b – a < ε). A redução da amplitude se faz através da sucessiva
Zero real divisão do intervalo ao meio a cada iteração: x = (a + b)/2

f(a).f(b) < 0

f(b)

a

Algoritmo Método Bisseção
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Dados iniciais: intervalo inicial (a, b), itmax e precisão ε k=1 M = f(a) x = (a + b) / 2
Se M.f(x) > 0 faça a = x (mantém b) vá para 7 b = x (mantém a)
Se (b – a) < ε fim k=k+1
Se k < itmax vá para 4 fim 5. Métodos de Refinamento

f(a)

b
Aproximação
x0 = (a+b)/2

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Número Mínimo de iterações: b0 - a0 = b - a b1 - a1 = (b0 - a0)/2 = (b - a)/2 b2 - a2 = (b1 - a1)/2 = (b0 - a0)/4 = (b - a)/22
...
bk - ak = (b - a)/2k
Impondo bk - ak < ε vem: (b – a) / 2k < ε
(b – a) / ε < 2k
2k > (b – a) / ε ln 2k > ln [(b – a) / ε]
k. ln 2 > ln [(b – a) / ε] k > ln [(b – a) / ε] / ln 2 convergência lenta.
Avaliação
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As iterações não envolvem cálculos complexos
Um arredondamento pode gerar um sinal errado da função no ponto médio, o que irá definir um intervalo que não contém a raiz
Raízes próximas (ou de multiplicidade par) torna difícil encontrar um intervalo [a, b], tal que f(a). f(b) < 0
Se o intervalo inicial