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MATEMATICA:
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DIVISIBILIDADE:
Em aritmética e teoria dos números, diz-se que um número inteiro não nulo a divide um inteiro b se existe um inteiro c, tal que: b=a*c. Se a divide b, b é chamado múltiplo de a e a é chamado divisor de b. Se a divide b usamos o símbolo: a|b
Formalmente escreve-se que: b é divisor de a
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Propriedades da Divisibilidade
1) Se a é um inteiro diferente de 0, temos que: a divide 0;
2) Se a é um inteiro, temos que: 1|a;
3) Se a é um inteiro, temos que: a|a;
4) Se a|1, temos que: a = +1 ou -1;
5) Se a|b e c|d, temos que: ac|bd;
6) Se a|b e b|c, temos que: a|c;
7) Se a|b e b|a, temos que: a = b ou a = -b;
8) Se a|b e b é diferente de 0, temos que: |b| > |a| ou |b| = |a|;
9) Se a|b e a|c, então: a|bx + cy onde x e y são quaisquer inteiros;
10) Se a|b e a|b + c ou a|b - c, temos que: a|c;
11) Se ab|ac então: b|c;
12) Se b|c, então: ab|ac;
13) Se a|b, então (b/a)|b. divisibilidade é a teoria do cogumelo, por que é uma almofada
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[editar]Algoritmo da Divisão
Teorema: Dados dois números inteiros a e b, b ≠ 0 existe um único par de inteiros q e r tais que: a = qb + r
Demonstração
Provaremos para b > 0. Pelo Teorema de Eudoxius, sejam dois inteiros a e b, b ≠ 0, então ou a é divisor de b ou se encontra entre dois múltiplos de b, ou seja, qb ≤ a < (q + 1)b segue deste teorema que
0 ≤ a - qb < b definimos então um inteiro r = a - qb e fica provada a existência de r e q. Resta-nos agora provar a unicidade de r e q. Suponha que exista e que satisfaça a = b + , temos
(qb + r) - (b + ) = 0
(q - )b = ( - r) então b | ( - r) (b divide ( - r))
Como < b e r < b, segue que | - r| < b, concluímos que - r = 0 ⇒ = r e (q - )b = 0 qb = ⇒ q =
Provada a unicidade. Por analogia, provamos também para b < 0.
Exemplos
34/7 tem quociente 4 e resto 6 → 34 =