Motivação

´ Algebra Linear I - Aula 9
1. Distˆncia entre uma reta e um plano. a 2. Distˆncia entre dois planos. a 3. Distˆncia entre duas retas. a

Roteiro 1 Distˆncia de uma reta r a um plano π a

A distˆncia entre uma reta r e um plano π ´ a menor das distˆncias entre a e a pontos P da reta r e Q do plano π. Obviamente, se a reta e o plano se interceptam a distˆncia ´ nula. a e Seja n um vetor normal ao plano π e v um vetor diretor da reta r. Existem duas possibilidades: • ou a reta ´ paralela ao plano (em tal caso n · v = 0), e • a reta n˜o ´ paralela ao plano (isto ocorre se n · v = 0). Neste caso a a e reta intercepta ao plano em um ponto a distˆncia ´ zero. a e No primeiro caso, a distˆncia de r a π ´ a distˆncia de qualquer ponto P a e a de r a π. Logo ´ suficiente escolher qualquer ponto de r e calcular a distˆncia e a a π, caindo em um caso j´ estudado. A afirma¸˜o ´ obtida como segue: sejam a ca e P e Q pontos da reta, e sejam T e R os pontos do plano mais pr´ximos de P e o a de Q, ent˜o os vetores P T e QR s˜o paralelos e os quatro pontos determinan a um retˆngulo, portanto, |P T | = |QR|. a Exemplo 1. Calcule a distˆncia da reta r = (1 + t, −t, 1 − t) ao plano a π : x + 2 y − z = 1. Resposta: Temos que que um vetor diretor da reta ´ (1, −1, −1) e um e vetor normal do plano ´ (1, 2, −1). Como e (1, −1, −1) · (1, 2, −1) = 0, 1

temos que o vetor diretor da reta ´ ortogonal ao vetor normal ao plano. e Portanto, a reta ´ paralela ao plano. e Como o ponto (1, 0, 1) pertence a r, o exerc´ j´√ a resolvido no exemıcio a est´ plo distˆncia entre ponto e plano, e a distˆncia ´ 1/ 6. a a e

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Distˆncia entre dois planos π e ρ a

A distˆncia entre os planos π e ρ ´ a menor das distˆncias entre pontos P de a e a π e Q de ρ. Sejam n e m vetores normais dos plano π e ρ, respectivamente. Existem duas possibilidades: ou os planos s˜o paralelos (em tal caso n = σ m para a algum σ = 0) ou n˜o. No ultimo caso, os planos se interceptam e a distˆncia a ´ a ´ zero. e No