Minhas coisas

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Algebra Linear—Exerc´ ıcios Resolvidos

Agosto de 2001

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Sum´rio a 1 Exerc´ ıcios Resolvidos — Uma Revis˜o a 5

2 Mais Exerc´ ıcios Resolvidos Sobre Transforma¸˜es Lineares co 3

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SUMARIO

Cap´ ıtulo 1

Exerc´ ıcios Resolvidos — Uma Revis˜o a Ex. Resolvido 1 Verifique se V = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; y = x, z = w2 } com as opera¸˜es usuais de R4 ´ um co e espa¸o vetorial. c Resolu¸˜o: Note que (0, 0, 1, 1) ∈ V mas −1(0, 0, 1, 1) = (0, 0, −1, −1) ∈ V. Assim, V n˜o ´ um espa¸o ca ae c vetorial.
Ex. Resolvido 2 Seja A ∈ Mn (R) uma matriz quadrada de ordem n. Verifique se W = {X ∈ Mn×1 (R); AX =
0} ´ um subespa¸o vetorial de Mn×1 (R), com as opera¸˜es usuais. e c co Resolu¸˜o: ca 1. Seja O = (0) a matriz n × 1 nula. Como AO = O, temos que O ∈ W.
2. Se X, Y ∈ W e λ ∈ R, ent˜o, pelas propriedades da soma e da multiplica¸˜o por escalar usuais entre a ca as matrizes e, tamb´m, pelas propriedades do produto entre matrizes, temos e A(X + λY ) = AX + A(λY ) = AX + λAY = O + λO = O.
Portanto X + λY ∈ W.
Conclu´
ımos que W ´ um subespa¸o vetorial de Mn×1 (R). e c
Ex. Resolvido 3 Encontre o subespa¸o vetorial de P3 (R) gerado por S = {1, t, t2 , 1 + t3 }. c Resolu¸˜o: Note que t3 = (t3 + 1) − 1. Assim, dado p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 ∈ P3 (R) podemos escrever ca p(t) = (a0 − a3 ) + a1 t + a2 t2 + a3 (t3 + 1) ∈ [S ]. Logo, P3 (R) = [S ].
Ex. Resolvido 4 Encontre o subespa¸o vetorial de M2 (R) gerado por c S=

0
0

1
0

,

00
−1 0

Resolu¸˜o: Temos que A ∈ [S ] se e somente se existem α, β ∈ R tais que ca A=α

0
0

1
0

+β

00
−1 0

=

0
−β

α
0

,

ou seja, A ∈ [S ] se e somente se os elementos da diagonal principal de A s˜o nulos. a 5

˜
CAP´
ITULO 1. EXERC´
ICIOS RESOLVIDOS — UMA REVISAO

6

Ex. Resolvido 5 Encontre um conjunto finito de geradores para
W = {X ∈ M3×1 (R) : AX = 0}, onde Resolu¸˜o: ca 

01
A= 2 1
11


0
0