MEF aplicado a equações diferenciais

Universidade de Brasília - FGA
2º Exercício Computacional
Disciplina: Tópicos Especiais em Matemática Aplicada
Professor: Pedro Lavinas
Aluno: Higor Barbosa de Souza

Matrícula: 11/0121082

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Objetivo
Uma equação diferencial é uma equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas. Essas equações descrevem o comportamento de vários problemas físicos importantes aplicados na engenharia, e a solução dessa equação pode ser obtida por métodos analíticos e numéricos (JACQUELINE; KELLY, 2011)..
Os métodos numéricos consistem em reduzir um problema contínuo, com um número infinito de variáveis, em um problema discreto com um número finito de variáveis, podendo ser resolvido computacionalmente (JACQUELINE; KELLY, 2011).
Nesse trabalho, será apresentada a solução da seguinte equação pelo método dos elementos finitos:

O problema será resolvido seguinte condição de contorno:

Apresentação do Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em um método numérico aproximado para análise de diversos fenômenos físicos que ocorrem em meios contínuos, e que são descritos através de equações diferenciais parciais, com determinadas condições de contorno, e possivelmente com condições iniciais. O MEF é bastante genérico, e pode ser aplicado na solução de inúmeros problemas da engenharia (MAGALHAES; RAMO, 2003).
A ideia principal do Método dos Elementos Finitos consiste em se dividir o domínio do problema em sub-regiões de geometria simples (formato triangular, quadrilateral, cúbico, etc.), conforme ilustra esquematicamente a figura abaixo (MAGALHAES; RAMO, 2003).
Esta ideia é bastante utilizada na engenharia, onde usualmente tenta-se resolver um problema complexo, subdividindo-o em uma série de problemas mais simples. Logo, trata-se de um procedimento intuitivo para os engenheiros.

Figura 1: Malha de Elementos Finitos (para problema plano)

Devido ao fato das