Mecânica ondulatória

Mecânica Ondulatória
O notável matemático suíço Euler (1707-1873) havia, no passado, ampliado o princípio da mínima ação de Maupertuis para coordenadas generalizadas, dando origem a mecânica de Euler-Lagrange. Conforme vimos anteriormente, existe estreito paralelismo, tanto histórico como formal, entre os princípios da mínima ação e do mínimo tempo, o primeiro aplicado à mecânica de corpos em movimento e o segundo, à luz. O princípio de Fermat aplica-se à ótica geométrica, na qual aproximamos a luz por ``raios'' que seguem uma trajetória que minimiza o tempo de percurso. De fato, ambos foram concebidos para descrever a trajetória da luz.Louis de Broglie (1892-1987) procurou unificar o tratamento formal da luz e da matéria sugerindo que esta última pudesse ter um tratamento matemático análogo ao da ótica. A matéria seria, segundo a hipótese de De Broglie, também uma onda, obedecendo uma relação análoga:

que resulta, no caso do elétron, em comprimentos de onda muito menores que o da luz para uma mesma energia. Ao atravessar um desnível de energia potencial, ocorre também uma mudança no momento e, conseqüentemente, no comprimento de onda da partícula de matéria. Em analogia aos fenômenos da luz, isso corresponde a uma ``refração de matéria''. A onda de matéria tem, portanto, um comprimento de onda modulado pela curva de potencial. Assim, as variações de potencial possuem um papel semelhante ao doíndice de refração no caso da luz. Essa analogia sugere que seja possível construir uma equação de ondapara tais ondas de matéria. Nas palavras de De Broglie:
``os resultados precedentes ...que estabeleceram um elo entre o movimento de um móvel e a propagação de uma onda deixam entrever a possibilidade de uma síntese de teorias antagônicas sobra a natureza da radiação'' (De Broglie, 1925)
O movimento de um corpúsculo passa a ter uma relação indissociável com uma onda (a ``onda de fase''), sobre a qual De Broglie postulava:
``O Princípio de Fermat aplicado à onda de