Maximosminimos

Vasco Simões
ISIG 2003

Máximos, Mínimos e Pontos de Sela de funções

f ( x, y,..., w)

1. Formas Quadráticas

Chama-se forma quadrática em Rn a

Q ( x1 ,..., xn ) se:
Q( x1 ,..., xn ) = xT A x

onde

 x1 
.  x =   é um vector coluna, e A uma matriz quadrada, dita matriz da forma quadrática, isto é:
. 
 
 xn 
 a11 ... a1n 
 a ... a 
21
2n 
Q( x1,... , xn ) = x T A x = [x1 ... xn ] 
 ...... 


 an1 ... ann 

 x1 
.
 
.
 
 xn 

As formas quadráticas classificam-se em 5 categorias:

a) Definidas positivas sse

Q( x1,... , xn ) > 0,

∀x ≠ 0

b)

Q( x1,..., xn ) < 0,

∀x ≠ 0

Definidas negativas sse

Q( x1, ..., xn ) ≥ 0,

∀ x , e Q( x1, ..., xn ) = 0 com algum x ≠ 0

d) Semi-definida negativa sse Q ( x1 , ..., xn ) ≤ 0,

∀ x , e Q ( x1 , ..., xn ) = 0 com algum x ≠ 0

c) Semi-definida positiva sse

e) Indefinida sse

Q( x1 ,..., xn ) > 0 para algum x e

Q( x1 , ..., xn ) < 0 para outro x

EXEMPLOS
1.

Q = x 2 + y 2 + z 2 é sempre positiva desde que x = ( x, y, z ) ≠ ( 0,0,0)

2.

Q = ( x + y + z )2 é semi-definida positiva, isto é, nunca é negativa e pode ser zero por exemplo

se x = − y e z = 0

3.

Q = x 2 + 4xy é indefinida, pode ser positiva ou negativa.

1

Vasco Simões
ISIG 2003
A classificação das formas quadráticas só se pode fazer “a olho” como nos exemplos acima, em casos ridiculamente simples. Em geral, devemos lançar mão de técnicas adequadas a esta classificação. A técnica que vamos aqui expor é a do sinal dos menores principais da matriz da forma quadrática. Seja então a forma quadrática Q( x1 ,... , xn ) = x T A x

com

 a11 a12 ... a1n 
a
a22 ... a2n 
21


A=


..... .....


 an1 an2 ... ann 
Forma-se então a sucessão de menores de A:

∆1 = a11 , ∆ 2 =

a11 a21 a12 a22 , ……..

,

∆n =

a11 a21 an1

A sequência de sinais dos

∆i

a12 ... a1 n a22 ... a2 n
..... ..... an 2 ... ann

vai permitir classificar a forma quadrática utilizando os

seguintes resultados que se apresentam sem demonstração 1
T1 – Q