Materias isolantes e acusticos

Capítulo 6

TEOREMA DE GREEN
Nesta seção apresentaremos uma versão simplificada de um dos teoremas clássicos da Análise Vetorial, o teorema de Green. Utilizaremos alguns argumentos intuitivos aceitavéis, que formulados rigorosamente fogem dos objetivos destas notas.

Definição 6.1. Uma região fechada e limitada D ⊂ R2 é simples se ∂D = C é uma curva fechada simples.

C
C

D

D

Figura 6.1: A região à esquerda não é simples; a da direita é simples.. Notamos que, em geral, uma região simples pode ser bastante "complicada". A seguir daremos a idéia intuitiva (imprecisa) de como orientar a curva ∂D

Definição 6.2. A curva C = ∂D está orientada positivamente se é percorrida no sentido anti-horário. (D fica à esquerda, ao se percorrer ∂D = C). 143

144

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE GREEN

D

D

C+

C

−

Figura 6.2: Regiões orientadas. Teorema 6.1. (Green) Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, D uma região simples, C = ∂D orientada positivamente, tal que D ⊂ A e F : A −→ R2 um campo de vetores de classe C 1 , com funções coordenadas (F1 , F2 ). Se C = ∂D tem uma parametrização de classe C 1 por partes e está orientada positivamente em relação a D, então: F =
∂D D

∂F2 ∂F1 − dx dy ∂x ∂y

Nós provaremos no apêndice o teorema de Green, numa versão particular, para regiões chamadas elementares. Corolário 6.2. Nas hipóteses do teorema de Green, se F é um campo conservativo, então F =0
∂D

A prova segue diretamente do teorema de Green. Corolário 6.3. Nas hipóteses do teorema de Green, a área da região D é dada por: A(D) =
∂D

x dy

ou ii)A(D) = − ou A(D) = 1 2
∂D

y dx
∂D

x dy − y dx

Prova: Basta considerar o campo F (x, y) = (−y, x) e aplicar o teorema de Green para obter: A(D) = 1 2 x dy − y dx.

∂D

145 Exemplo 6.1. [1] Utilizando o teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha: 1. γ √

y dx +

√

x dy, onde γ é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2 , no

sentido anti-horário. 2.
γ