matemática

Produtos not´veis e fatora¸˜es n˜o t˜o not´veis a co a a a C´cero Thiago B. Magalh˜es ı a [e-mail] O objetivo desta aula ´ algebrizar o conceito de decomposi¸˜o em fatores e ca primos e aprender algumas fatora¸˜es bem legais! co 1. Produtos Not´veis a a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
c. (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
d. (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
e. (a + b)(a − b) = a2 − b2
f. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

2. Algumas fatora¸˜es triviais co a. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
b. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

3. Fatora¸˜es n˜o t˜o not´veis co a a a Usando os produtos not´veis acima, vamos aprender a fatorar!! a 1. Fatore a3 + b3 + c3 − 3abc.
Solu¸˜o:
ca a3 + b3 + c3 − 3abc = a3 + b3 + 3ab(a + b) − 3ab(a + b) + c3 − 3abc =
(a + b)3 + c3 − 3ab(a + b) − 3abc =
[(a + b) + c)] [(a + b)2 − (a + b)c + c2 ] − 3ab(a + b + c) =
(a + b + c)(a2 + 2ab + b2 − ac − bc + c2 − 3ab) =
(a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc)
2. Fatore a4 + 4b4 .
Exerc´cios Propostos ı 1. Calcule o valor de
N=

(104 + 324)(224 + 324)(344 + 324)(464 + 324)(584 + 324)
.
(44 + 324)(164 + 324)(284 + 324)(404 + 324)(524 + 324)
1

2. Mostre que todo inteiro pode ser escrito como soma de 5 cubos.
3. (a) Efetue o produto
(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)(x16 + 1)(x32 + 1)(x64 + 1)
(b) Racionalize a express˜o a (

√

64

2 + 1)(

√

32

2 + 1)(

√

16

1
√
√
√
2 + 1)( 8 2 + 1)( 4 2 + 1)( 2 + 1)

4. O n´mero a ´ a m´dia aritm´tica de trˆs n´meros, e b ´ a m´dia aritm´tica u e e e e u e e e de seus quadrados. Expresse a m´dia aritm´tica de seus produtos dois a dois e e em termos de a e b.
5. Determine qual ´ o maior dos dois n´meros e u
123456 + 10999 123457 + 10999 e .
123457 + 10999 123458 + 10999
6. Mostrar que se a + b + c = 0 ent˜o a3 + b3 + c3 = 3abc. a 7. Encontre o quociente da divis˜o de a128 − b128 por a (a + b)(a2 + b2 )(a4 +