Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVÍL
MATEMÁTICA APLICADA À ENGENHARIA II
PROF. Msc: Marcelo Siqueira
2ª avaliação
1- Considere a equação
(I)
Verifique que

,

e

,

,

, onde i é o número imaginário, satisfazem a equação (I)

(Calcule

as

derivadas

e

substitua

na

equação).

2- Considere agora a equação
, com “c”≠ 0 e constante.

(II)
Verifique

que
,

,

e

,

, onde i é o número imaginário, satisfazem a

equação (II) desde que

,onde

e

. A equação (II) é a equação

de ondas unidimensional em física. (Calcule as derivadas e substitua na equação).
3- Verifique

que

uma

e
, onde A e B são constantes, também satisfazem a

equação de ondas unidimensional. (Calcule as derivadas e substitua na equação).
4- Considere a função energia potencial gravitacional dada por
Admitindo que

, mostre que

.

corresponde a força peso

. (Apesar de aparecer apenas a variável z na expressão, U depende de x e y no sentido de ser um ponto qualquer do espaço tridimensional).
5- Através da integral de linha, (a) calcule o trabalho realizado pela força peso quando uma partícula de massa “m” se desloca de

até

através da reta que liga estes dois pontos. (b) Imagine agora que a partícula movimentou-se no espaço seguindo uma trajetória irregular, mas voltou a seu

Marcelo Siqueira
ITEC-UFPA

ponto inicial. Mostre que o trabalho realizado por ela (portanto sua integral de linha) é igual à zero, ou seja:
(Integral de circuito fechado).
c) Mostre que

. (As letras (b) e (c) definem, cada uma de seu modo, que

o vetor força peso é um campo conservativo. Se tiver curiosidade, pesquise).
d) Calcule
6- Considere o plano inclinado abaixo:

Considerando a energia potencial gravitacional da 4ª questão e o vetor formado pela superfície inclinada do plano, que se dirige até a origem, mostre que a derivada da energia potencial na direção deste