Matemática resumida

Curso: Qu´ ımica - Ano Letivo: 2005
Disciplina: C´lculo Diferencial e Integral I a C´digo 99-7186-02 o Professor

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ADILANDRI MERCIO LOBEIRO

Matem´tica - UNIPAR a Umuarama, fevereiro de 2005

Cap´ ıtulo 1
N´ meros Reais u 1.1

N´ meros Reais u Para contar utilizamos os n´meros 0, 1, 2, 3, ... . Esses n´meros s˜o chamados de n´ meros u u a u naturais. Os n´meros naturais formam um conjunto num´rico indicado por IN. Assim u e
IN = {0, 1, 2, 3, ...}
´ o conjunto dos n´meros naturais. Denotamos por e u
IN∗ = IN − {0} = {1, 2, 3, ...} o conjunto dos n´meros naturais positivos. u Esses n´meros foram suficientes para as necessidades do homem durante muito tempo, u at´ que surgiram outras situa¸˜es em que apenas os n´meros naturais se mostravam e co u insuficientes para suprir estas situa¸˜es. “Surge” assim o conjunto dos n´ meros inteiros co u
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
As fra¸˜es apareceram tamb´m pela necessidade do homem, isso principalmente com co e o avan¸o do com´rcio e desenvolvimento cient´ c e ıfico. Os n´meros que estamos acostumados a chamar de fra¸˜es chamaremos de agora em u co diante de n´ meros racionais. O conjunto dos n´meros racionais ser´ indicado pela letra u u a Q e pode ser escrito da seguinte maneira:
Q=

a
; a ∈ Z e b ∈ Z∗ b 1

Os n´meros racionais podem ser representados geometricamente por pontos de uma u reta. Se o ponto P for representante do n´mero r diremos que r ´ a abscissa de P . u e
Todo n´mero racional r ´ abscissa de um ponto P da reta. Todo ponto da reta tem u e abscissa racional? Para respondermos esta quest˜o precisamos antes do seguinte resultado. a √ ae u
A seguir vamos mostrar que 2 n˜o ´ um n´mero racional, para isso, precisamos do seguinte resultado.
Lema 1.1 Seja a ∈ Z , temos
1. a ´ ´ e ımpar se, e somente se a2 ´ ´ e ımpar;
2. a ´ par se, e somente se a2 ´ par. e e
Teorema 1.1 A equa¸˜o x2 = 2 n˜o possui solu¸˜o em Q. ca a
ca