Matemática Discreta

1. Mostre por inducão que é divisível por 7, .

1) Provar por que é divisível por 7:
Temos:
Logo, é divisível por 7.

2) Considerando que é verdadeiro:

3) Provemos que também é verdadeiro:

Desenvolvendo, temos:

Como é , então é divisível por 7 e essa parcela também é divisível por 7. Já a parcela é do tipo , logo é divisível por 7, então a soma de parcelas divisíveis por 7, resulta em um montante divisível por 7.
Logo, podemos afirmar que, por indução infinita, é divisível por 7,
2. Calcule o menor número , tal que divide .

Tomando , temos:   =

Tomando , temos:   =

Sendo assim, o menor número n que divide é 1.
3. Se o resto da divisão de um número por e . Qual o resto da divisão de por ?
O resto (da divisão) de n por 5 é o número natural r que satisfaz as seguintes condições:
1) , para algum .
2) .
De acordo com o enunciado,
,
onde é o quociente de por . Podemos reescrever esta última igualdade assim:

Isto mostra que as condições 1) e 2) ficam satisfeitas para e . Portanto, o resto de por 5 é 3.
4. Mostre que se um numero natural não é divisível por , então deixa resto na divisão por .

Dividindo toda a equação por 3, temos:

Logo, o resto da divisão é .
Como , temos:
Para
Para
Logo, o resto da divisão é 1.

5. Mostre que um numero natural é par, se e somente se, é par.
1) Temos que um número par possui a seguinte forma  .
2) Se a é par então . Substituindo, temos que :
, verifica que um número par multiplicado por um número par, que resulta em um número par, podendo ser representado da forma .
Sendo que é um número de forma par, temos que:
Se for um ímpar, que é da forma , teremos que .
Ora: , temos que 4n² é um número par e verifica-se também que 2(2n) também é par, pois, considerando que , temos que é um número de forma par. Porém, na terceira parcela do polinômio, temos um número ímpar, que irá transformar o resultado em um número de forma