Matemática Básica

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MATEMÁTICA
BÁSICA

Potenciação e Radiciação
1. Potência - Seja a um número real e n um número natural. Podemos definir a potência de base a e expoente n, por an, que é o produto de n fatores iguais a a, se n ≥ 2. an = a × a × a × a × ... × a,
Propriedades - Sejam a e b números reais, m e n números inteiros, temos: a1 = a a 0 = 1, a ≠ 0 a m × a n = a m+n am = a m × a −n = a m−n , a ≠ 0 n a n 1 a =  , a≠0
a
(a × b )n = a n × b n
−n

n

an
a
  = n b b

(a )

m n

= a m× n

(a + b )(a + b ) = (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b )(a − b ) = (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

(a − b )(a + b ) = a 2 − b 2
2. Radiciação - Seja a um número real maior ou igual a zero e n um número natural maior ou igual a 1.
Definimos a raiz n-ésima de a o número real b maior ou igual a zero tal que bn = a, isto é, n a = b ⇔ bn = a .
Observação: Se a for um número negativo, o índice da raiz deverá ser ímpar, pois para números reais não existe raiz negativa de índice par.

Propriedades: n a =a

n

a

=n

1 n a b n

b

n

am = a n a ×n b = n a×b

m

n

( a) n m

m

= n am = a n

3. Equação Exponencial - Chamamos de equação exponencial toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
(1) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;

(2) aplicação da propriedade a m = a n ⇒ m = n (a ≠ 1 e a > 0) .

Exemplos:
1) 5 x = 125

5 x = 53

x=3

S = {3}

2) 2 x = 1

2 x = 20

x=0

S = {0}

x

x

x

 2  16
3)   =
81
3

24
2
= 4
 
3
3

2 2
  = 
3 3

4) 32 x +1 = 243

32 x +1 = 35

2x +1 = 5

5) 2 2 x + 4 = 16 x

2 2 x + 4 = (2 4 ) x

6) 32 x − 6 ⋅ 3 x − 27 = 0
Resolução
32 x − 6 ⋅ 3 x − 27 = 0

4

x=4
2x = 4

2 2 x+4 = 2 4 x

S = {4} x=2 2x + 4 = 4x

S = {2}
4x − 2x = 4

2x = 4

(3 x ) 2 − 6 ⋅ 3 x